（2012•鸡西）Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为

（2012•鸡西）Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为
（2012•鸡西）Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为

（2012•鸡西）Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为

这道题的考点是：含30度角的直角三角形；勾股定理．

专题：分类讨论．

分析：分两种情况考虑：当∠ABC=60°时,如图所示,由∠ABC=60°,利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°,又∠PCA=30°,由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°,可得出三角形PCB为等边三角形,根据等边三角形的三边相等,由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时,再分两种情况：（i）P在A的右边时,如图所示,由∠PCA=30°,∠ACB=60°,根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角,由∠ABC=30°及BC的长,利用锐角三角形函数定义及cos30°的值,即可求出PB的长；当P在A的左边时,如图所示,由∠PCA=30°,∠ACB=60°,根据∠ACB-∠ACP求出∠PCB为30°,得到∠PCB=∠ABC,利用等角对等边得到PC=PB,由BC及∠ABC=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长,再利用勾股定理求出AB的长,由AB-BP表示出AP,在直角三角形ACP中,利用勾股定理列出关于PB的方程,求出方程的解得到PB的长,综上,得到所有满足题意的PB的长．

分两种情况考虑：

当∠ABC=60°时,如图所示：

向左转|向右转

∵∠CAB=90°,

∴∠BCA=30°,又∠PCA=30°,

∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°,又∠ABC=60°,

∴△PCB为等边三角形,又BC=4,

∴PB=4；

当∠ABC=30°时,如图所示：

向左转|向右转

（i）当P在A的左边时,如图所示：

∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,

∴∠PCB=90°,

又∠B=30°,BC=4,

∴cosB=BC/PB,即cos30°=4/PB,

解得：PB=4/（√3 / 2）=（8√3）/3；

（ii）当P在A的右边时,如图所示：

∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,

∴∠BCP=30°,又∠B=30°,

∴∠BCP=∠B,

∴CP=BP,

在Rt△ABC中,∠B=30°,BC=4,

∴AC=1/2BC=2,

根据勾股定理得：√AB=√（BC²-AC²）=2√3,

∴AP=AB-PB=2√3-PB,

在Rt△APC中,根据勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²,

∴2²+（2√3-BP）²=BP²,

解得：BP=（4√3）/3,

综上,BP的长分别为4或433或833．

故答案为：4或（4√3）/3或（8√3）/3

点评：此题考查了含30°直角三角形的性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,利用了转化及分类讨论的数学思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

画图之后用相似做 4根号3/3