a+b+c+d=1 a>0 b>0 c>0 d>0 p=根号下（3a+1）+根号下（3b+1)+根号下(3c+1)+根号下(3d+1）求p取值范围

a+b+c+d=1 a>0 b>0 c>0 d>0 p=根号下（3a+1）+根号下（3b+1)+根号下(3c+1)+根号下(3d+1）求p取值范围
a+b+c+d=1 a>0 b>0 c>0 d>0 p=根号下（3a+1）+根号下（3b+1)+根号下(3c+1)+根号下(3d+1）求p取值范围

a+b+c+d=1 a>0 b>0 c>0 d>0 p=根号下（3a+1）+根号下（3b+1)+根号下(3c+1)+根号下(3d+1）求p取值范围
注：表示根号.
设a+b=u,
[(3a+1)?+(3b+1)?]^2
=3a+1+3b+1+2{[(3a+1)(3b+1)]?}
=3u+1+1+2{[9ab+3u+1]?}
>3u+1+1+2{[3u+1]?}
=[(3u+1)?+(1)?]^2=[(3u+1)?+1]^2
故(3a+1)?+(3b+1)?>(3u+1)?+1
设c+d=v同理
(3c+1)?+(3d+1)?>(3v+1)?+1
故P=(3a+1)?+(3b+1)?+(3c+1)?+(3d+1)?
>(3u+1)?+1+(3v+1)?+1
=(3u+1)?+(3v+1)?+2
设u+v=t同理
(3u+1)?+(3v+1)?>(3t+1)?+1
故P>(3u+1)?+(3v+1)?+2>(3t+1)?+1+2
=(3t+1)?+3
而a+b+c+d=1
即u+v=t=1
故P>(3t+1)?+3=(3*1+1)?+3=2+3=5
即P>5
因为a,b,c,d均为正数,且a+b+c+d=1,所以必有0x^2+2x+1
x^2-xb+1
√(3c+1)>c+1
√(3d+1)>d+1
以上四式相加得P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)>a+b+c+d+4=5
即有P>5.

p=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) + √(3d+1)
≥ 2√√（3a+1)(3b+1)+2√√(3c+1)(3d+1)
≥2√（2√√（3a+1)(3b+1)*2√√(3c+1)(3d+1)）
当（3a+1)＝(3b+1)＝(3c+1)＝(3d+1)
时“＝”成立
又
正实数a,b,c,d满足a+b+c+d=1

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p=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) + √(3d+1)
≥ 2√√（3a+1)(3b+1)+2√√(3c+1)(3d+1)
≥2√（2√√（3a+1)(3b+1)*2√√(3c+1)(3d+1)）
当（3a+1)＝(3b+1)＝(3c+1)＝(3d+1)
时“＝”成立
又
正实数a,b,c,d满足a+b+c+d=1
所以a=b=c=d=1/4
即 p≥2√7
所以P>5,

收起

注：?表示根号。
设a+b=u，
[(3a+1)?+(3b+1)?]^2
=3a+1+3b+1+2{[(3a+1)(3b+1)]?}
=3u+1+1+2{[9ab+3u+1]?}
>3u+1+1+2{[3u+1]?}
=[(3u+1)?+(1)?]^2=[(3u+1)?+1]^2
故(3a+1)?+(3b+1)?>(3u+1)?+...

全部展开

注：?表示根号。
设a+b=u，
[(3a+1)?+(3b+1)?]^2
=3a+1+3b+1+2{[(3a+1)(3b+1)]?}
=3u+1+1+2{[9ab+3u+1]?}
>3u+1+1+2{[3u+1]?}
=[(3u+1)?+(1)?]^2=[(3u+1)?+1]^2
故(3a+1)?+(3b+1)?>(3u+1)?+1
设c+d=v同理
(3c+1)?+(3d+1)?>(3v+1)?+1
故P=(3a+1)?+(3b+1)?+(3c+1)?+(3d+1)?
>(3u+1)?+1+(3v+1)?+1
=(3u+1)?+(3v+1)?+2
设u+v=t同理
(3u+1)?+(3v+1)?>(3t+1)?+1
故P>(3u+1)?+(3v+1)?+2>(3t+1)?+1+2
=(3t+1)?+3
而a+b+c+d=1
即u+v=t=1
故P>(3t+1)?+3=(3*1+1)?+3=2+3=5
即P>5


因为a,b,c,d均为正数，且a+b+c+d=1，所以必有0P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f(x)=√(3x+1)的图像，显然可以发现其图像一定在点(0,1)和(1,2)这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y=x+1
所以可以发现在在(0,1)上恒有√(3x+1)>x+1
当然这样只是画图所得，未必准确，所以还要严格证明，证之如下：
上式两边平方得：3x+1>x^2+2x+1
<=>x^2-x<0
<=>x(x-1)<0
而此时x∈(0,1)，可见上式显然成立。
所以我们有：
√(3a+1)>a+1
√(3b+1)>b+1
√(3c+1)>c+1
√(3d+1)>d+1
以上四式相加得P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)>a+b+c+d+4=5
即有P>5。

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