在数列an中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1,设bn=log2(an+1-an)求证bn是等差数列,求数列1/bnbn+1的前n项和

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 19:35:40
在数列an中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1,设bn=log2(an+1-an)求证bn是等差数列,求数列1/bnbn+1的前n项和

在数列an中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1,设bn=log2(an+1-an)求证bn是等差数列,求数列1/bnbn+1的前n项和
在数列an中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1,设bn=log2(an+1-an)求证bn是等差数列,求数列1/bnbn+1的前n项和

在数列an中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1,设bn=log2(an+1-an)求证bn是等差数列,求数列1/bnbn+1的前n项和
an+1=3an-2an-1
则a(n+1)-an=2(an-a(n-1))
所以{a(n+1)-an}是以a2-a1=2是为首项,2为公比的等比数列
所以a(n+1)-an=2*2^(n-1)=2^n
而bn=log2(an+1-an)=log2(2^n)=n
所以bn是等差数列,
令cn=1/bnbn+1=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
所以cn的前n项和
Tn=c1+c2+……+cn=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)