在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC上是否存在一点F使BF平行于平面AEC?若存在给出证明,若不存在,说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 13:22:46
在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC上是否存在一点F使BF平行于平面AEC?若存在给出证明,若不存在,说明理由
在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC上是否存在一点F使BF平行于平面AEC?若存在给出证明,若不存在,说明理由
在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC上是否存在一点F使BF平行于平面AEC?若存在给出证明,若不存在,说明理由
存在
理由:
设PE的中点为G
则PG=GE=ED
连接CE,AC,BD,并且设AC和BD交于点O,连接OE
因为ABCD是菱形,所以对角线垂直平分,故BO=OD
在三角形BDG中,不难得出EO是中位线,
所以EO和BG平行
在三角形PCE中,做GF平行于CE交PC于点F
因为PG=GE
根据中位线定理
PF=FC
在平面BGF和平面AEC中,
EO和BG平行,GF平行于CE
根据公理,平面BGF和平面AEC平行
所以BF平行于平面AEC
F点位于PC中点
得证
不存在.假设PB平行于平面AEC,BD∩AC=O
而PB在平面PBD上,平面PBD∩平面AEC=OE
则PB与OE必平行,在△PDB中
DE:PE=1:2
而OD:BO=1:1
DE:PE≠OD:BO
所以OE不平行于PB
与题设矛盾~
把四棱锥P-ABCD补充成平行六面体ABCD-JPHI.看截面ADHP. 设R为HD中点。G为PA中点。连接HG,RA.易证PD被三等分,K,E为三等分点。 且KG‖AE.连接HB.与PC交于F.F为PC的中点,GF‖AC. 平面BGH‖平面AEC(∵KG‖AE.GF‖AC.)∴BF‖平面AEC