作业帮在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：（1）如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 10:58:45
在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：（1）如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）
在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：
（1）如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论；
（2）若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）：
①判断此时四边形PQMN的形状,并证明你的结论；
②当AE=6,EB=3,求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）.
在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：（1）如图1,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）
1、连接AC,BD
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N
∴PN=1/2BD,MQ=1/2BD
MN=1/AC,PQ=1/2AC
∴PN=MQ,MN=PQ
∴PQMN为平行四边形
2、①连接AC、BD
∵△ADE和△BCE都是等边三角形
∴BE=CE,DE=AE
∠AED=∠BEC=60°
∴∠AED+∠DCE=∠DCE+∠BEC
即∠AEC=∠DEB
∴△AEC≌△DEB(SAS)
∴AC=BD
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N
∴PN=1/2BD,MQ=1/2BD
MN=1/AC,PQ=1/2AC
∴PN=MQ=MN=PQ
∴PQMN菱形
②做CH⊥BE于H,
∵△BCE是等边三角形,那么BH=EH=1/2BE=3/2
∴CH²=BC²-BH²=3²-(3/2)²=27/4
AH=AE+EH=6+3/2=15/2
∴AC²=AH²+CH²=(15/2)²+27/4=252/4=63
AC=3√7
∴PN=MQ=MN=PQ=1/2AC=3√7/2
∴四边形PQMN的周长=4PN=4×3√7/2=6√7