已知函数f(x)=2cos2x+sin²x-4cosx,求f（x）的最大值和最小值!要详细内容!回答好给加分!谢谢

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 09:41:15

已知函数f(x)=2cos2x+sin²x-4cosx,求f（x）的最大值和最小值!要详细内容!回答好给加分!谢谢
已知函数f(x)=2cos2x+sin²x-4cosx,求f（x）的最大值和最小值!
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f(x)=2(2(cosx)^2-1)+1-(cosx)^2-4cosx
=4(cosx)^2 -2+1-(cosx)^2-4cosx
=3(cosx)^2-4cosx-1
我们假设t=cosx∈[-1,1]
所以
f(t)=3t^2-4t-1
=3(t^2-4t/3)-1
=3(t^2-4t/3+4/9-4/9)-1
=3(t-2/3)^2-7/3
其中t∈[-1,2]
所以当t=2/3时
f(2/3)最小=-7/3
当t=-1时
f(-1)最大=3（-1-2/3)^2-7/3
=25/3-7/3
=18/3
=6

cosx=t, |t|<=1
f(x)=2(2t^2-1)+1-t^2-4t=3t^2-4t-1=3(t-2/3)^2+1/3
t=2/3, fmin=1/3
t=-1, fmax=6

f(x)=2cos2x+sin²x-4cosx,
=4cos²x-2+1-cos²x-4cosx,
=3cos²x-4cosx-1
=3(cos²x-4/3cosx+4/9)-7/3
=3(cosx-2/3)²-7/3
cosx=2/3时
有最小值-7/3
cosx=-1时有
最大值6

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