已知数列{an}满足a1=3,(an+1)-3an=3^n(n,n∈N*),数列{bn}满足bn=3^(-n)an求证:数列{bn}是等差数列设sn=(a1)/3+(a2)/4+(a3)/5+.(an)/(n+2),求满足1、128<sn/s2n<1/4的所有正整数n的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 16:46:48
已知数列{an}满足a1=3,(an+1)-3an=3^n(n,n∈N*),数列{bn}满足bn=3^(-n)an求证:数列{bn}是等差数列设sn=(a1)/3+(a2)/4+(a3)/5+.(an)/(n+2),求满足1、128<sn/s2n<1/4的所有正整数n的值

已知数列{an}满足a1=3,(an+1)-3an=3^n(n,n∈N*),数列{bn}满足bn=3^(-n)an求证:数列{bn}是等差数列设sn=(a1)/3+(a2)/4+(a3)/5+.(an)/(n+2),求满足1、128<sn/s2n<1/4的所有正整数n的值
已知数列{an}满足a1=3,(an+1)-3an=3^n(n,n∈N*),数列{bn}满足bn=3^(-n)an

求证:数列{bn}是等差数列

设sn=(a1)/3+(a2)/4+(a3)/5+.(an)/(n+2),求满足1、128<sn/s2n<1/4的所有正整数n的值

已知数列{an}满足a1=3,(an+1)-3an=3^n(n,n∈N*),数列{bn}满足bn=3^(-n)an求证:数列{bn}是等差数列设sn=(a1)/3+(a2)/4+(a3)/5+.(an)/(n+2),求满足1、128<sn/s2n<1/4的所有正整数n的值
(1)
a(n+1)-3an=3ⁿ
a(n+1)/3⁽ⁿ⁺¹⁾-an/3ⁿ=1/3
b(n+1)-bn=1/3,b1=a1/3=1.
∴bn是首项b1=1,公差d=1/3的等差数列.
综上,命题得证.
(2)
bn=b1+(n-1)d=n/3+2/3.
an=bn×3ⁿ=n×3⁽ⁿ⁻¹⁾+2×3⁽ⁿ⁻¹⁾=3⁽ⁿ⁻¹⁾(n+2).
∴Sn=1+3+3²+...+3⁽ⁿ⁻¹⁾=(3ⁿ-1)/2,S2n=(9ⁿ-1)/2.
Sn/S2n=(3ⁿ-1)/(9ⁿ-1)=1/(3ⁿ+1).
显然,Sn/S2n递减,故S2n/Sn≤S2/S1=1/4.
∴n≥2时,Sn/S2n满足Sn/S2n<1/4.
又Sn/S2n递减,故不存在Sn/S2n>128.
综上,n≥2时满足Sn/S2n<1/4.