已知数列{an}满足 1*a1+2*a2+3*a3+……+n*an=n (1)求{an}通项公式 (2)若Bn=(2^n)/an求Bn的前n项和Sn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 18:52:26
已知数列{an}满足 1*a1+2*a2+3*a3+……+n*an=n (1)求{an}通项公式 (2)若Bn=(2^n)/an求Bn的前n项和Sn

已知数列{an}满足 1*a1+2*a2+3*a3+……+n*an=n (1)求{an}通项公式 (2)若Bn=(2^n)/an求Bn的前n项和Sn
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已知数列{an}满足 1*a1+2*a2+3*a3+……+n*an=n (1)求{an}通项公式 (2)若Bn=(2^n)/an求Bn的前n项和Sn
(1)∵1*a1+2*a2+3*a3+……+n*an=n,
∴1*a1+2*a2+3*a3+……+(n-1)*an-1=n-1,
两式相减,得n*an=1,∴an=1/n.
(2)Bn=(2^n)/(1/n)=n*2^n,
Sn=1×2+2×2²+3×2³+……+n·2^n ①,
①×2得2Sn=1×2²+2×2³+3×2^4+……+n·2^(n+1) ②
①-②得-Sn=2+2²+2³+……+2^n-n·2^(n+1)
=-2(1-2^n)-n·2^(n+1),
∴Sn=2(1-2^n)+n·2^(n+1)=2+(n-1)·2^(n+1).

1)an=1/n
2)Bn=n*2^n,Sn=sum(k*2^k);Sn/2=sum(k*2^(k-1))=sum((k-1)*2^(k-1))+sum(2^(k-1));所以Sn-Sn/2=n*2^n-2^n+1, 即Sn=(n-1)*2^(n+1)+2