作业帮已知数列{An}满足A1=2,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)已知数列{An}满足A1=2 ,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)1）证明{An/2^n}是等差数列.2）求数列{An}的通项公式.3）求数列{An}前n项和Sn要求：不要跳,50分就送你
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 16:07:20
已知数列{An}满足A1=2,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)已知数列{An}满足A1=2 ,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)1）证明{An/2^n}是等差数列.2）求数列{An}的通项公式.3）求数列{An}前n项和Sn要求：不要跳,50分就送你
已知数列{An}满足A1=2,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)
已知数列{An}满足A1=2 ,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)
1）证明{An/2^n}是等差数列.
2）求数列{An}的通项公式.
3）求数列{An}前n项和Sn
要求：不要跳,50分就送你了
80分啊·大神在哪
已知数列{An}满足A1=2,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)已知数列{An}满足A1=2 ,An=2A(n-1)-2^(n-1) （n=2,3,4...)1）证明{An/2^n}是等差数列.2）求数列{An}的通项公式.3）求数列{An}前n项和Sn要求：不要跳,50分就送你
由An=2A(n-1)-2^(n-1)
两边同除以2^n得
An/2^n=A(n-1)/2^(n-1)-1/2
即An/2^n-A(n-1)/2^(n-1)=-1/2
于是数列{An/2^n}是以A1/2=1为首项,以-1/2为公差的等差数列.
2、
因为数列{An/2^n}是以A1/2=1为首项,以-1/2为公差的等差数列
所以An/2^n=1+(n-1)*(-1/2)
即An=(3-n)*2^(n-1)
3、因为An=(3-n)*2^(n-1)
所以An=3*2^(n-1)-n*2^(n-1)
设数列{3*2^(n-1)}前n项和为Tn
设数列{n*2^(n-1)}前n项和为Pn
所以Sn=Tn-Pn
Tn=3(1+2+2²+2³+.+2^(n-1)=3(2^n-1)
Pn=1+2*2+3*2²+4*2³+.+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)
2Pn=2+2*2²+3*2³+.+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
上两式错项相减得
-Pn=1+2+2²+2³+.+2^(n-1)-n*2^n
-Pn=2^n-1-n*2^n
Pn=(n-1)*2^n+1
于是Sn=3(2^n-1)-(n-1)*2^n-1=(4-n)*2^n-4
1）两边同除以2^n,A[n]/2^n=A[n-1]/2^(n-1)-1/2,所以是等差数列
2）记Bn=An/2^n,则B1=1,且公差为1/2，Bn=3/2-n/2,An=(3/2-n/2)*2^n=(3-n)*2^(n-1)
3)sum{3*2^(n-1)}=3*(2^n-1)，这一步直接用等比数列求和公式
sum{n*2^(n-1)}=(n+1)*2^n+1-...
全部展开
1）两边同除以2^n,A[n]/2^n=A[n-1]/2^(n-1)-1/2,所以是等差数列
2）记Bn=An/2^n,则B1=1,且公差为1/2，Bn=3/2-n/2,An=(3/2-n/2)*2^n=(3-n)*2^(n-1)
3)sum{3*2^(n-1)}=3*(2^n-1)，这一步直接用等比数列求和公式
sum{n*2^(n-1)}=(n+1)*2^n+1-2^(n+1)，这一步可以构建函数f(x)=x+x^2+……+x^n，则x取2时， f'(x)即为所求和。f(x)自身是一个等比数列，先用求和公式，再求导就可以得到f'(x)
最后两项加一起就可以了
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