作业帮已知a>0.数列{an}满足a1=a,an+1=a+ 1/an,（n=1,2…..）,an极限存在,an＞0.设数列bn=an-A,(n=1,2….)试证明bn+1=bn/-A(bn+A);(2)若数列｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立,试求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:08:47
已知a>0.数列{an}满足a1=a,an+1=a+ 1/an,（n=1,2…..）,an极限存在,an＞0.设数列bn=an-A,(n=1,2….)试证明bn+1=bn/-A(bn+A);(2)若数列｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立,试求a的取值范围.
已知a>0.数列{an}满足a1=a,an+1=a+ 1/an,（n=1,2…..）,an极限存在,an＞0.
设数列bn=an-A,(n=1,2….)试证明bn+1=bn/-A(bn+A);
(2)若数列｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立,试求a的取值范围.
已知a>0.数列{an}满足a1=a,an+1=a+ 1/an,（n=1,2…..）,an极限存在,an＞0.设数列bn=an-A,(n=1,2….)试证明bn+1=bn/-A(bn+A);(2)若数列｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立,试求a的取值范围.
应该有A=liman(n趋于∞）.
(1).由已知,两边取极限,得A=a+1/A,
bn+1=an+1-A=(a+ 1/an)-(a+1/A)=1/an-1/A=1/(bn-A)-1/A=bn/-A(bn+A);
(2).由（1）得,A=[a+√(a^2+4)]/2(易得A>0）
由｜b1｜=｜a-[a+√(a^2+4)]/2｜≤1/2,解得a≥3/2
用数学归纳法看证得,当a≥3/2时,｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立,
（1）n=1时已验证
（2)假设n=k时,结论成立,即｜bk｜≤1/2^k,则
当n=k+1时,
｜bk+1｜=│bk/[-A（bn+A)]│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k
而当a≥3/2时,A=[a+√(a^2+4)]/2≥【3/2+5/2】/2=2
│bk+A│≥A-│bk│≥2-1/2^k≥1
A[bn+A)]≥2
故当a≥3/2时,｜bk+1｜│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k≤1/2*1/2^k=1/2^(k+1),
即当n=k+1时,结论成立
所以,结论对所有正整数都成立
故数列｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立的a的取值范围为【3/2,+∞）
A=[√(a²+4)+a]/2
想问个问题，A和a是一样的么？