平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—（16/3）x过点A（2,-8）,且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段

平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—（16/3）x过点A（2,-8）,且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段
平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—（16/3）x过点A（2,-8）,且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段AB上运动.过点P做PC∥AB交直线与点C,设运动时间为t秒.
a=2/3
若m=2,并以点A为圆心,AQ为半径做圆A,当直线PC与圆A相切时,求t的值

平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax^2—（16/3）x过点A（2,-8）,且与x轴交于O,B两点,动点P从O点出发以每秒3个单位的速度在射线OB上运动,同时动点Q从点A出发以每秒m个单位的速度在线段
令y=(2/3)x²-(16/3)x=(x/3)(2x-16)=0,得x₁=0,x₂=8；故B(8,0)；A(2,-8)；故AB所在
直线的斜率KAB=(-8-0)/(2-8)=4/3,故其方程为y=(4/3)(x-8)；PC∥AB,故PC所在直线的斜率KAC=KAB=4/3；在运动t秒后,OP=3t,即P点的坐标为(3t,0)；故PC所在直线的方程为
y=(4/3)(x-3t),写成一般形式就是4x-3y-12t=0.(1)
因为m=2,故运动t秒后︱AQ︱=2t；于是以A为圆心,︱AQ︱为半径的圆的方程为：
(x-2)²+(y+8)²=4t².(2)
圆(2)与直线(1)相切,因此圆心(2,-8)到直线(1)的距离=圆半径2t,于是得等式：
︱8+24-12t︱/√(4²+3²)=︱32-12t︱/5=2t,即有︱32-12t︱=10t,32-12t=±10t；
由32-12t=10t,得t=32/22=16/11(秒)；由32-12t=-10t,得t=16秒（不合理,应舍去)；
即当t=(16/11)秒时以A为圆心,以AQ为半径的圆与直线PC相切.

（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=-6，
所以点A（-6，0）．
同理点C（0，8），
由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，
∴-6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根，
∴-6+x0=-b a ，-6x0=8 a ，
∴a=-4 3x0 ，b=-8 x0 +4 3 ．
∵A、...

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（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=-6，
所以点A（-6，0）．
同理点C（0，8），
由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，
∴-6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根，
∴-6+x0=-b a ，-6x0=8 a ，
∴a=-4 3x0 ，b=-8 x0 +4 3 ．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P0．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx0+n=0，
∴m=-8 x0 ，n=8．
∴BC的解析式为y=-8 x0 x+8．
∴当x=-b 2a =-6+x0 2 时，y=24 x0 +4，
∴P0的坐标为（-6+x0 2 ，24 x0 +4）；
（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10+2 41 ，
62+82 + x 20 +82 =10+2 41 ，
解得x0=10或x0=-10（不符舍去），
则点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为y=-2 15 x2 +8 15 x+8=-2 15 （x-2）2+128 15 ．
顶点N（2，128 15 ）；
（3）如图，作MN⊥BC于点N，
则△OBC∽△NCM，
所以h 10 =2t 2 41 ，
即h=10 41 t 41 ．
因为MH∥BC，
所以8-2t 8 =MH BC ，
解得MH=8-2t 8 BC=8-2t 8 ×2 41 = 41 4 (8-2t)，
S=1 2 MHh，
=1 2 × 41 4 （8-2t）×10 41 t 41 ，
=10t-5 2 t2，
因为每秒移动2个单位，
则当t=2时符合范围0＜t＜4，
所以当t为2时S最大为10；
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，
从而得到点M的坐标，
S=75 32 ，即75 32 =-5 2 t2+10t，
则解得t1=1 4 ，t2=15 4 ．
则由题意知CEF三点所在圆半径为4，
所以直线CN与CFE所在圆相切．

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