作业帮已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:03:33
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已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值
已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；
（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值范围
已知函数f(x)=(2a^X+a-4)/(2a^x+a) (a＞0,a≠1)是定义在R上的奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明；（3）当x∈（0,1]时,t·f(x)≥2^x-2恒成立,求实数t的取值
(1)a=2
由于f是奇函数,于是f(-x)=-f(x),即有(2a^(-x)+a-4)/(2a^(-x)+a) =-(2a^x+a-4)/(2a^x+a) ,
化简 (4a-8)a^x + 2(a-2)^2 + (4a-8)a^(-x)=0.故a=2.
（2）f(x)=(2*2^x-2)/(2*2^x+2)=(2^x-1)/(2^x+1)=1 - 2/(2^x+1).
对于x1 < x2,f(x1)-f(x2)= 2*2^x2*[2^(x1-x2)-1]/(2^x1+1)(2^x2+1) < 0.于是f在定义域上单调增加.
(3)实数t的取值范围是[0,+无穷大).
令y=2^x.当x∈（0,1]时,y的取值范围是(1,2].要求t·f(x)≥2^x-2对x∈（0,1]恒成立,即要求
t(y-1)/(y+1)>=y-2对y∈（1,2]恒成立.即y^2-(t+1)y+t-2=0