已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 06:53:45

已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0
已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0

证明：

f (x) = ln（ [e^x-1]/x）定义域是 { x>0 或者 x<0 }

f ' (x) = 【 x* ( e^x ) - e^x + 1】/ 【x* ( e^x - 1 )】

因为a1=1>0

现在只需要讨论 f ' (x)在 x>0时的正负

在 x>0 时分母 x* ( e^x - 1 ) > 0

令 g(x) = x* ( e^x )- e^x + 1

且 g ' (x) =[ x* ( e^x ) - e^x + 1] ' = x* ( e^x ) > 0 【当x>0 时】

因此g(x)在 x>0时单调递增

那么有 g(x) > g(0) = 0 【x>0 时】

所以 f ' (x) = g(x) /【x* ( e^x - 1 )】> 0

所以 f (x)在x>0时递增

且 f (x) > lim(x趋于0时)f (x) = 0 【当x>0时】

所以 an>0

再证｛an｝单调递减

令h(x) = f(x) - x = ln（ [e^x-1]/x）- x= ln [ (e^x-1) / （x* e^x） ] 【当x>0 时】

h ' (x) = 【当x>0 时】

再按照1的方法可知

h ' (x) < 0 【当x>0 时】

因此h(x)在x>0 时递减

h (x) < lim(x趋于0时)h (x) = 0 【当x>0 时】

所以a(n+1) - an = f(an) - an = h (an) < 0

所以｛an｝单调递减

PS:

h ’（x）实在不想写了 ,打公式打得要吐了.

你自己求出来写上就可以了

证明：

f (x) = ln（ [e^x-1]/x）定义域是 { x>0 或者 x<0 }

f ' (x) = 【 x* ( e^x ) - e^x + 1】/ 【x* ( e^x - 1 )】

因为a1=1>0

现在只需要讨论 f ' (x)在 x>0时的正负

在 x>0 时分母 x* ( e^x - 1 ) > 0

令 g(x) = x* ( e^x )- e^x + 1

且 g ' (x) =[ x* ( e^x ) - e^x + 1] ' = x* ( e^x ) > 0 【当x>0 时】

因此g(x)在 x>0时单调递增

那么有 g(x) > g(0) = 0 【x>0 时】

所以 f ' (x) = g(x) /【x* ( e^x - 1 )】> 0

所以 f (x)在x>0时递增

且 f (x) > lim(x趋于0时)f (x) = 0 【当x>0时】

所以 an>0

再证｛an｝单调递减

令h(x) = f(x) - x = ln（ [e^x-1]/x）- x= ln [ (e^x-1) / （x* e^x） ] 【当x>0 时】

h ' (x) = 【当x>0 时】

再按照1的方法可知

h ' (x) < 0 【当x>0 时】

因此h(x)在x>0 时递减

h (x) < lim(x趋于0时)h (x) = 0 【当x>0 时】

所以a(n+1) - an = f(an) - an = h (an) < 0

所以｛an｝单调递减

PS:

h ’（x）实在不想写了，打公式打得要吐了。

你自己求出来写上就可以了

F'（x）= 2 ^ x * LN2 +1 /（1 + x ^ 2）
显然，对任意x∈R是严格大于0
函数f（x）的严格单调递增
A（N +1）= A（N）/（-A（N）），对任意n∈N *

变形（N +1）-2 * A（N ）的第（n +1）（n）的= 0，1 /（n）的-1 /（第（n +1））-2 = 0,1 / A（N +1）= 1 /（N...

全部展开

F'（x）= 2 ^ x * LN2 +1 /（1 + x ^ 2）
显然，对任意x∈R是严格大于0
函数f（x）的严格单调递增
A（N +1）= A（N）/（-A（N）），对任意n∈N *

变形（N +1）-2 * A（N ）的第（n +1）（n）的= 0，1 /（n）的-1 /（第（n +1））-2 = 0,1 / A（N +1）= 1 /（N） - 2
1 / A（N）= 1 /（1）-2 *（N-1）
（1）= 1/4023，和n = 2012（2012）= 1
> F（A（2012））= F（1）= 2 +π/ 4

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已知函数f(x)=e^x-ln(x+1)（1）求函数f(x)的最小值已知函数f(x)=e^x-ln(x+1).(1)求函数f(x)的最小值;(2)已知0 已知函数f(x)=e^x-ln(x+1)①求函数f(x)的最小值②已知0 已知函数f(x)=ln(1+e^2x)+ax是偶函数则a= 已知函数f(x)=ln(e^x+1)+mx是偶函数,求m的值已知函数f(x)=kx+ln(e^x+1)为偶函数,求K值已知函数f（x)=1/2x^2+ln x （1）求函数f(x)在区间[1,e^2]上的最大值已知函数f(x)=ln(e^x-e^-x)/2,则f(x)是,奇偶性,单调,证明已知函数f（x）=e^x—x—1.（I）若函数g（x）=—e^x+x+a+1,x属于[—1,ln已知函数f（x）=e^x—x—1.（I）若函数g（x）=—e^x+x+a+1,x属于[—1,ln(4/3)]有唯一零点,求a的取值范围；（||）当x大于等于0时,f（x 已知函数f（x）=ln（e^x+1)-ax 设a>0 讨论f（x）的单调性 f(x)=e^x-ln(x+m)-1,若x=0,函数f(x)取得极值1.求函数最小值 2.已知0 已知函数f（x）=ln x +（1/x）求函数f（x）的最小值已知函数f（x）=x-1/2ax^-ln（x+1）已知函数f(x)=1/2(1+x)²-ln(1+x) (1)求f(x)单调区间 (2)若x∈[(1/e)-1,e-1]时,f（x）已知函数f(x)=ln（e^x+1）-1/2x、求函数f(x)的单调区间,并判断函数的奇偶性若不等式f(x^2+2) 函数f（x）= e^x- ln（x+m） ,求导这个函数已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k/2x^2 求f（x）的单调性已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=ln(x+1)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=ln(x 1)1)求两曲线交点处的公切线2）求函数F(x)=|f(x)|-g(x)的最小值2）已知0≤y＜x,试比较f(x-y)与g(x)-g(y)的大小,证明结论