a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 01:55:32

a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明

a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
“^”代表次方
成立
证明：
a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
∵0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
∴a^3+b^3+c^3≥3abc

成立，证：
(1)a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ba^2-3ab^2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(a+b+c)[(a...

全部展开

成立，证：
(1)a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ba^2-3ab^2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
a+b+c>0,[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
(a"=a^1/3)
(2)(反证法)假设a^3+b^3+c^3<3abc
则a"^3+b"^3+c"^3<3a"*b"*c"
a+b+c<3(abc)"
(a+b+c)/3<3(abc)"
与基本不等式(a+b+c)/3<3(abc)"（a+b+cE R+)矛盾
所以a^3+b^3+c^3>=3abc

收起

不等式问题若a.b.c为正数,求证a3+b3+c3>=3abc a,b,c>o 求证：a3+b3+c3>=3abc 已知a+b+C=0证明a3+ b3+ c3= 3abc 已知a.b.c是整数,求证：a3+b3+c3>=3abc 已知 a+ b+ c=0 ,求证a3+ b3+ c3=3abc 已知：a>0,b>0,c>0,求证：a3+b3+c3>=3abc 若a.b.c为正整数,求a3+b3+c3与3abc的大小.求a3+b3+c3-3abc的值.请根据公式求值：a3+b3= a3-b3= (a+b)3= (a-b)3= (a+b+c)2=都是立方和平方!比较大小用做差法，要a3+b3+c3-3abc (a+b－c)3－(a3+b3+c3) a3+b3+c3和（a+b+c)3什么关系 (a+b+c)3-a3-b3-c3解法求证：a＋b＋c≥0是a3＋b3＋c3≥3abc的充要条件. a,b,c属于正实数,求证a3+b3+c3≥3abc前面的三个3是表示立方设a,b,c为正实数,求证1／a3+1／b3+1／c3+abc≥2√3 a,b,c为正数是a3+b3+c3≥3abc的什么条件充要还是另外什么 a+b+c=0求证a3+b3+c3=3abc,a3+a2c+b2c=abc a3+b3+c3≥3abc a3(b+c)+b3(a+c)+c3(a+b)+abc(a+b+c) 分解因式若a,b,c是正数,a3+b3+c3≥3abc,怎么推出下一步a+b+c/3≥3根号下abc?