三角形ABC,AD为高若AB+BD=AC+CD 则三角形是等腰三角形 怎么证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 19:11:26
三角形ABC,AD为高若AB+BD=AC+CD 则三角形是等腰三角形 怎么证明

三角形ABC,AD为高若AB+BD=AC+CD 则三角形是等腰三角形 怎么证明
三角形ABC,AD为高若AB+BD=AC+CD 则三角形是等腰三角形 怎么证明

三角形ABC,AD为高若AB+BD=AC+CD 则三角形是等腰三角形 怎么证明
因为 AB+BD=AC+CD
所以 (AB+BD)^2 = (AC+CD)^2
即 AB^2 + 2AB*BD + BD^2 = AC^2 + 2AC*CD + CD^2 ————(1)
又因为AD是高
所以AB^2 = AD^2 + BD^2 ————————(2)
; AC^2 = AD^2 + CD^2 ————————(3)
将 (2),(3)代入(1)得
AD^2 + BD^2 + 2AB*BD + BD^2 = AD^2 + CD^2 + 2AC*CD + CD^2
整理上式得 AB*BD + BD^2 = AC*CD + CD^2
即 BD(AB + BD ) = CD(AC + CD)
所以 BD = CD
即 AB = AC
所以三角形是等腰三角形

延长BA、CA,在BA上取线段使AE=BD,在CA上取线段使AF=CD

AD⊥BC
AD^=AB^-BD^=AC^-CD^ (^表示平方)
(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)
因AB+BD=AC+CD (1)
则AB-BD=AC-CD (2)
(1)+(2)得2AB=2AC
即AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形

用向量,