已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 07:47:54
已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?

已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?
已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?

已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?
这个问题貌似只能用求导来做.
首先构建一个用棱锥高h来表示的关于棱锥体积V的函数.
设V为棱锥体积,h为高,s为底面积,a为底面正方形ABCD的边长,点O为正方形对角线交点(中心)
棱锥体积V=1/3sh,其中s=a²;
构建一个三角形,直角边分别为OA和OS(即为高),斜边为SA.勾股定理 OA²+OS²=SA²
而 OA=a/根号2,OS=h ,SA=2倍根号3
所以 (a/根号)²+(h)²=(2倍根号3)²
简化此等式,代入棱锥体积公式,把a用h替换掉
得到函数 f(h)=V=-2h³+24h,(h>0,V>0)问题即转化为求该函数在h取何值时使得V最大值
第二步就是求导了
f'(h)=V'=-6h²+24
h有两个值可以使该导函数为零,即 h= 正或负2倍根号3 时,V'=0,(此处,h负值情况不成立,舍去)也就是说当 h=2倍根号3 时,原函数f(h)=V可以达到最大值最大值
所以答案是当h=2倍根号3时,该四棱锥体积最大.
中间省去了很多计算步骤,如果lz哪里不清楚,欢迎垂询.

设高为x
则底面中心至底边顶点的距离 = 根号(SA^2-x^2) = 根号(12-x^2)
底面边长 = 根号2 * 根号(12-x^2)
底面积 = (底面边长)^2 =2(12-x^2)
体积:f(x) = 1/3 * 2(12-x^2) * x = -2/3 x^3 + 8x
f'(x) = -2x^2+8=-2(x^2-4)
x>0

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设高为x
则底面中心至底边顶点的距离 = 根号(SA^2-x^2) = 根号(12-x^2)
底面边长 = 根号2 * 根号(12-x^2)
底面积 = (底面边长)^2 =2(12-x^2)
体积:f(x) = 1/3 * 2(12-x^2) * x = -2/3 x^3 + 8x
f'(x) = -2x^2+8=-2(x^2-4)
x>0
∴0<x<2时,x^2-4<0,f‘(x)>0,f(x)单调增;x>2时,x^2-4>0,f'(x)<0,f(x)单调减
当x=2时,f(x)有极大值:f(2)=-2/3*2^3 + 8*2 = 32/3
故高为2时体积最大,体积最大值为32/3

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已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2倍根号3棱锥的体积最大时,高为 已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少? 已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2倍的根号三,那么当该棱锥的体积最大时,他的高为( ) 已知正四棱锥S-ABCD,SA=2根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为—— 已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?最好能把数学符号用汉字表示哦.大师们,救命啊 四棱锥S-ABCD中底面ABCD是正方形侧面SBC⊥底面ABCD 已知∠ABC=45° AB=2 BC=2倍根号2 SA=SB=根号3求证SA垂直于BC (2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值 已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为根号3,侧棱长根号2,过底面的对角线BD作平行于侧棱SA的截面EBD.求三棱锥E-BCD的体积 以知正四棱锥s—ABCD中,sA=2倍根号3,那么当该棱锥体积最大时,它的高为多少 如图,在四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,SB=SD=2倍根号2,底面ABCD是菱形,且角ABC=60度,E为CD的中点 提问,证明 在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=根号2倍的SA,点P在SD上,且SD=3PD.第一问:证明SA⊥平面ABCD;第二问:设E是SC的中点,求证BE∥平面APC 已知正四棱柱S-ABCD中,SA=2根号3,那么当该棱柱的体积最大时,它的高为 四棱锥S-ABCD,底面ABCD是平行四边形,侧面SBC垂直底面ABCD,已知角ABC=45°,AB=2,BC=2根号2,SA=SB=根号求证SA垂直于BCSA=SB=根号3 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形,侧棱相等,SA=二倍根号三,那么当该棱锥的体积最大,它的高为 如图,正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,E是SD中点,(1)求CE与SB夹角的余弦 四棱锥S-ABCD,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC垂直底面ABCD,已知角ABC=45,AB=2,BC=二倍根号二,SA=SB=根号3.(1)证明SA垂直BC (2)求直线SD垂直与平面SAB所成角的正玄值 四棱锥S-ABCD,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC垂直底面ABCD,已知角ABC=45,AB=2,BC=二倍根号二,SA=SB=根号3.(1)证明SA垂直BC (2)求直线SD垂直与平面SAB所成角的正玄值在线求解速度啊1111111111111111111111111 (有图)正四棱锥S-ABCD的底面边长为21,(有图)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,点E是SA的中点,已知BE与SC成60度角,那么该四棱锥的侧棱长等于___2√6/3_______2,圆台上,下底面的面积分别16π和36π,截得这个 高手救我:问一道高中几何题3.已知正四棱锥S-ABCD的棱长均为13,E,F分别是SA,BD上的点,且SE:EA=BF:FD=5:8,求证:(1)直线EF//平面SBC(2)求四棱锥S-ABCD的体积