如图,已知平行四边形ABCD中,AD=2.CD=根号2,∠ADC=45度,AE垂直BC,垂足为E,沿直线AE将△BAE翻折成△B'AE,使得平面B'AE垂直平面AECD,连接B'D,P是B'D上的点,求当B'P=2PD时二面角P-AC-D的余弦值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 00:45:42

如图,已知平行四边形ABCD中,AD=2.CD=根号2,∠ADC=45度,AE垂直BC,垂足为E,沿直线AE将△BAE翻折成△B'AE,使得平面B'AE垂直平面AECD,连接B'D,P是B'D上的点,求当B'P=2PD时二面角P-AC-D的余弦值
如图,已知平行四边形ABCD中,AD=2.CD=根号2,∠ADC=45度,AE垂直BC,垂足为E,沿直线AE将△BAE翻折成
△B'AE,使得平面B'AE垂直平面AECD,连接B'D,P是B'D上的点,求当B'P=2PD时二面角P-AC-D的余弦值

如图,已知平行四边形ABCD中,AD=2.CD=根号2,∠ADC=45度,AE垂直BC,垂足为E,沿直线AE将△BAE翻折成△B'AE,使得平面B'AE垂直平面AECD,连接B'D,P是B'D上的点,求当B'P=2PD时二面角P-AC-D的余弦值
过P做PP'垂直于面ADCE,由于B'AE垂直于面AECD,故B'E垂直于面AECD,E是B'在AECD上的投影点,故B'D在面AECD上的射影是ED
P在B'D上,则P'必在直线DE上,且由B'P=2PD,知EP‘=2P'D
由平行四边形ABCD中,AD=2.CD=√2,∠ADC=45度,知若做CF垂直于AD交于点F
AEFC为正方形,边长为1.
△AED中,DE=√AE²+AD²=√5,在△AED中,△AEP'面积为EP'乘以高,△ADP'面积为P'D乘以高,因此S△AEP'/S△ADP'=2. S△AED=AE*AD/2=1
故S△AEP'=2/3
同理可求S△ECP'=1/3
则四边形ECP'A面积为2/3+1/3=1
减去△AEC面积1/2
可知△ACP'面积为1/2
再求△ACP面积
其中过P作PM垂直于AC交AC于M点,连接P'M,易证P'M垂直于AC.
△PMP'为直角三角形,PP'在△B'ED与△PP'D中用相似来求,PP’=1/3.
由△ACP'面积和AC=√2可知P'M=√2/2
PM=√P'M²+P'P²=√(11/18)
则S△ACP=AC*PM*1/2=(√11)/6
二面角P-AC-D的余弦值为
S△ACP'/S△ACP=3/√11=3√11/11