作业帮过点（0,2）与双曲线x^2/9-y^2/16=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围在线等
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 00:04:57
过点（0,2）与双曲线x^2/9-y^2/16=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围在线等
过点（0,2）与双曲线x^2/9-y^2/16=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围
在线等
过点（0,2）与双曲线x^2/9-y^2/16=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围在线等
设直线为y=kx+a,因为过（0,2）点,所以可得a=2
y=kx+2与x^2/9-y^2/16=1有且只有一个公共点
也就是方程组{x^2/9-y^2/16=1；y=kx+2}只有一组解
将y=kx+2代入x^2/9-y^2/16=1得到
(16-9k^2)x^2-18kx-180=0
当16-9k^2=0时,方程只有一组解,也就是k=+-(4/3)时,方程只有一组解
当16-9k^2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件
也就是b^2-4ac=0,可以得到另一组k的值
设过点（0，2）的直线为L：y=kx+2
代入双曲线方程16x^2-9y^2=144 得16x^2-9(kx+2)^2=144
整理得 （16-9k^2)x^2-36kx-180=0
当16-9k^2=0 (k=±4/3) 时，直线L与双曲线相交于一点
当k≠±4/3时，△=0
即(36k)^2+4(16-9k^2)180=0
解...
全部展开
设过点（0，2）的直线为L：y=kx+2
代入双曲线方程16x^2-9y^2=144 得16x^2-9(kx+2)^2=144
整理得 （16-9k^2)x^2-36kx-180=0
当16-9k^2=0 (k=±4/3) 时，直线L与双曲线相交于一点
当k≠±4/3时，△=0
即(36k)^2+4(16-9k^2)180=0
解得 k=±(2√5)/3 这时直线L与双曲线相切于一点
∴k=±4/3 或 k=±(2√5)/3
收起
将双曲线方程和直线y=kx+2联立，用x代换y，所得的是一个一元二次方程，其中含有未知数x和常数k，令Δ=0即可算出k的范围，应该是只有4个解。两个相交的两个相切的。
两个相切的，两个和渐近线平行的