作业帮求解一道微分方程dy/dx=(1+y^2)/(xy+x^3y)它的解答是这样的：①ydy/(1+y^2)=dx/（x(1+x^2)）②∫ydy/(1+y^2)=∫(1/x-x/(1+x^2))dx③1/2ln(1+y^2)=ln(x)-1/2ln(1+x^2)+lnC④(1+x^2)(1+y^2)=C^2x^2（结束了）我看不明白它是怎样
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 02:36:39
求解一道微分方程dy/dx=(1+y^2)/(xy+x^3y)它的解答是这样的：①ydy/(1+y^2)=dx/（x(1+x^2)）②∫ydy/(1+y^2)=∫(1/x-x/(1+x^2))dx③1/2ln(1+y^2)=ln(x)-1/2ln(1+x^2)+lnC④(1+x^2)(1+y^2)=C^2x^2（结束了）我看不明白它是怎样
求解一道微分方程
dy/dx=(1+y^2)/(xy+x^3y)
它的解答是这样的：
①ydy/(1+y^2)=dx/（x(1+x^2)）
②∫ydy/(1+y^2)=∫(1/x-x/(1+x^2))dx
③1/2ln(1+y^2)=ln(x)-1/2ln(1+x^2)+lnC
④(1+x^2)(1+y^2)=C^2x^2（结束了）
我看不明白它是怎样从第②变到第③的,还有第③怎样得出第④的,我想知道完整的过程
求解一道微分方程dy/dx=(1+y^2)/(xy+x^3y)它的解答是这样的：①ydy/(1+y^2)=dx/（x(1+x^2)）②∫ydy/(1+y^2)=∫(1/x-x/(1+x^2))dx③1/2ln(1+y^2)=ln(x)-1/2ln(1+x^2)+lnC④(1+x^2)(1+y^2)=C^2x^2（结束了）我看不明白它是怎样
答:
②得到③纯粹就是算积分啊,
∫ydy/(1+y^2)=1/2ln(1+y^2)+C1;
∫(1/x-x/(1+x^2))dx=ln(x)-1/2ln(1+x^2)+C2,
令lnC=C2-C1,反正是常数,凑形式.
③得出④,左右两边同乘以2,移项.
ln(1+y^2)+ln(1+x^2)=2(lnx+lnC)
即:ln((1+x^2)(1+y^2))=2ln(Cx)=ln(C^2x^2)
(对数性质lna+lnb=lnab,alnb=ln(b^a))
就有:(1+x^2)(1+y^2)=C^2x^2
②左边：ydy=0.5d(1+y^2)
右边同样：xdx=0.5d(1+x^2)
两边都是∫dt/t=lnt+C的形式
③到④就是自然对数的运算了
Ln里面的项合并就可以了
1/2ln(1+y^2)=ln(x)-1/2ln(1+x^2)+lnC
0.5ln[(1+y^2)(1+x^2)]=ln(Cx)
平方后去掉对数：(1+y^2)(1+x^2)=C^2*x^2