排列组合的难题（a+b+c+d)^15有多少项 请大侠们写下具体过程.

排列组合的难题（a+b+c+d)^15有多少项 请大侠们写下具体过程.
排列组合的难题
（a+b+c+d)^15有多少项 请大侠们写下具体过程.

排列组合的难题（a+b+c+d)^15有多少项 请大侠们写下具体过程.
首先要指出的是：楼上yunwan9999的解答是错的.
我们只需检验一下你所说的：
含a^13: 共有3^2项
现在我们把它们写出来：
a^13b² a^13bc a^13bd a^13c² a^13cd a^13d²
它只有6项!
以前没有读过这个解答的朋友,可以略过下面的长篇部分（它已经可以退役了）,请直接读最后一段的解答.
正确的答案是（4+15-1）!/[15!（4-1）!]=18!/[15!3!]=816
下面我们来证明它的正确性.
首先,我们证明下述一个
引理：对于任给的正整数n和k,有
∑(i=1到n）（i+k)!/[(i-1)!(K+1)!]=(n+k+1)!/[(n-1)!(K+2)!] ①
下面我们用数学归纳法来证明它.
当n=1时,
左边=(1+k)!/[(1-1)!(K+1)!]=1
右边=(1+k+1)!/[(1-1)!(K+2)!]=1
原式成立.
现假设当n=s时,原式成立,即
∑(i=1到s）（i+k)!/[(i-1)!(K+1)!]=(s+k+1)!/[(s-1)!(K+2)!]
于是当n=s+1时,原式左边等于
∑(i=1到s+1）（i+k)!/[(i-1)!(K+1)!]
=(s+k+1)!/[(s-1)!(K+2)!]+ （s+1+k)!/[(s+1-1)!(K+1)!]
=(s+k+1)!/[(s-1)!(K+2)!]+ （s+1+k)!/[s!(K+1)!]
=s(s+k+1)!/[s!(K+2)!]+ (k+2)（s+1+k)!/[s!(K+2)!]
=(s+k+2)（s+1+k)!/[s!(K+2)!]
=（s+2+k)!/[s!(K+2)!]
容易看出,这样我们已经证明了①式成立.
下面我们来解答原问题.
首先,把原问题改述成与之等价（即是一回事）的且更一般的另两种形式（当然,这并还是必需的）：
等价形式一：已知W,X,Y,…Z（共m个）都是大于等于0,小于等于n(正整数）的正整数,求方程W+X+Y+…+Z=n的解的个数?
等价形式二：有m种颜色的球,且每种颜色的球都有n个,现从这些球中取出n个,求一共有多少种取法?
现在我们以第二种形式为模型来解答这个问题.

设取法的总数为H（m,n).
我们把所有的分法按其中一个确定的颜色（记为颜色A）来分类.
第一类,取出的n个球都是A颜色的,那么在剩下的m-1种颜色的球中还需要取出0个,容易理解,这类取法的总数为H（m-1,0);
第二类,取出的n个球有n-1个是A颜色的,那么在剩下的m-1种颜色的球中还需要取出1个,容易理解,这类取法的总数为H（m-1,1);
第三类,取出的n个球有n-2个是A颜色的,那么在剩下的m-1种颜色的球中还需要取出2个,容易理解,这类取法的总数为H（m-1,2);
……
最后一类（第n+1类）,取出的n个球没有A颜色的,那么在剩下的m-1种颜色的球中还需要取出n个,容易理解,这类取法的总数为H（m-1,n).
从而有
H（m,n)=H（m-1,0)+H（m-1,1)+H（m-1,2)+…+H（m-1,n) ②
下面,我们来证明
H（m,n)=（m+n-1)!/[n!(m-1)!] ③
用数学归纳法.
当m=1时,当然有左边H（1,n)=1,而右边=（1+n-1)!/[n!(1-1)!]=1
结论成立.
当m=2时,左边H（2,n)= H（1,0)+H（1,1)+ H（1,2)+ …+H（1,n)=n+1
右边=(2+n-1)!/[n!(2-1)!]=n+1
结论成立.
现在我们假设当m=p时,结论成立,即
H（p,n)=（p+n-1)!/[n!(p-1)!]
于是由②式,得
H（p+1,n)=H（p,0)+H（p,1)+H（p,2)+…+H（p,n)
=∑(j=0到n)（p+j-1)!/[j!(p-1)!]
在上式中令i=j+1,便有
H（p+1,n)=∑(i=1到n+1)（p+i-2)!/[(i-1)!(p-1)!]
=∑(i=1到n+1)[i+(p-2)]!/{(i-1)![(p-2)+1]!}
对上式应用引理的结论①,便得
H（p+1,n)=[(n+1）+（p-2)+1)]!/{[(n+1)-1)]![(p+2)-2]!}
[(p+1)+n-1]!/{n![(p+1)-1]!}
这样,我们就用数学归纳法证明了
H（m,n)=（m+n-1)!/[n!(m-1)!]
把m=4,n=15代入上式,即得816.
下面我们用一个更易检验的例子来说明公式③的正确性：
求（a+b+c)^4有多少项?
按公式③,应有H（3,4）=（3+4-1）!/[4!（3-1）!]=6!/（4!2!）=15种.
我们把这15种写出来：
a^4
a³b a³c
a²b² a²bc a²c²
ab³ ab²c abc² ac³
b^4 b³c b²c² bc³ c^4
最后,说几句题外话.
首先,原问题是一个更一般的问题的特殊的也是简单的情况.这个更一般的问题是（按等价形式二来叙述）：
有m种颜色的球,且每种颜色的球都有k个,现从这些球中取出n个,求一共有多少种取法?
首先,记（m,i)=m!/[i!(m-i)!],则这个问题的结果是：
∑(i=0到m-1)[(-1)^i]（m,i)H[m,n-i(k+1)] ④
对公式④,我们不证明了.比较复杂,要用到容斥原理.
最后,作一个注记：
我得到并证明公式①是在1998年4月20日；得到并证明公式③是在2000年8月16日；得到并证明公式④是在2000年10月22日.
新注：
这个解答做出后,我邀请了我弟huping_1980来审查一下我的解答过程.这么做的真实的内心想法是：这么长的证明,怕是要读的人看一眼就没有兴趣了.而自己又是如此的费了精力写出了它,没人过问总感觉有点儿亏.其实当时邀huping_1980我弟来读的时候,在心里自问了一下：若huping_1980我弟让我来读一个这么长的证明,我是否会欣然允之?因为当时我都不知道huping_1980我弟是否对这种类型的问题感兴趣.
后来的事实是,我弟huping_1980不辞劳苦,耗费了自己的宝贵时间,读了我的解答.可以想像,这不是所有人都愿意做的工作.我与huping_1980弟自百度知道上相识以来,承蒙huping_1980弟不厌我数学之陋,使我可放言直抒胸臆.多日的网上相交,我自己感觉与huping_1980弟很是投缘,相得甚欢.
我与huping_1980弟之谊不多说了,深在我心.回到正题,huping_1980弟看完证明后先是谬夸了我一番,我自晓得受之有惭.huping_1980弟后面的浅见（何等谦逊啊!）是对原问题的本质理解与解答,我在下面把它引述过来,请诸兄欣赏（huping_1980弟自己为不使我难堪,可能不忍直接把解答写在这里,但一切都不能成为一个拙陋的证明可以阻挡一个精妙的证明的理由!就让愚兄代huping弟之笔吧!）
……（略去的是huping_1980弟对我的谬赞,汗颜啊!）
弟说一下一点浅（我注：一个“浅”字,彰显了我弟胸怀,你下面的见解,哪里是浅啊!）见：
这是个正整数解的问题.设A+1=a,B+1=b,C+1=c,D+1=d
a+b+c+d=19
相当19个相同球放4个盒子(不一样的盒子),每个盒子都要有球.
用隔板法!18个间隙放3个隔板.就是18*17*16/(3*2*1)=816

含a^15:共有 3^0项
含a^14:共有 3^1项
含a^13: 共有3^2项
含a^12: 共有3^3项
含a^11：共有3^4项
....
含a^1：共有3^14项
∴这个多项式的项数为：
Sn=3^0+3^1+3^2+3^3+......+3^14
=（a1-anq)/(1-q)
将a1=1，q=3n=15代入Sn
S15=（3^15-1）/2