作业帮立体几何问题：从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°.从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°,∠bpc=arccos四分之一,求证：平面pab垂直于平面pac
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 09:56:30
立体几何问题：从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°.从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°,∠bpc=arccos四分之一,求证：平面pab垂直于平面pac
立体几何问题：从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°.
从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°,∠bpc=arccos四分之一,求证：平面pab垂直于平面pac
立体几何问题：从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°.从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°,∠bpc=arccos四分之一,求证：平面pab垂直于平面pac
在PC上取一点D,过点D作DE⊥PA于点E、作DF⊥PB于点F,连接EF,
∠APC=60°,
PE=PD/2,DE=PD*(√3)/2
∠BPC=arccos(1/4)>0,∠BPC为第一、三象限角,PC在上图中位置或上图中关于PB对称的位置,对最终结果无影响.
PF=PD/4,DF=PD*(√15)/4
∠APB=60°
三角形PEF内,根据余弦定理有,
EF^2=PF^2+PE^2-2*PF*PE*cos∠APB
EF^2=PD^2/16+PD^2/4-2*PD^2*(1/4)*(1/2)*(1/2)=3*PD^2/16
DF^2-DE^2=3*PD^2/16
即,DF^2=EF^2+DE^2
根据勾股定理,有∠DEF为直角,即,DE⊥EF
所以,PA⊥平面DEF,
所以,PA⊥DF
所以,DF⊥平面APB,
DF在平面BPC内,
所以,平面BPC与平面APB垂直.
立体几何问题：从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°.从空间中一点p出发的三条射线pa,pb,pc,若∠apb=∠apc=60°,∠bpc=arccos四分之一,求证：平面pab垂直于平面pac
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