作业帮四棱锥ABCD中,底面ABCD是正方体,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥平面ABCD.（1）求证AB⊥平面VAD（2）求面VAD与面VDB所成的二面角大小.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:50:12
四棱锥ABCD中,底面ABCD是正方体,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥平面ABCD.（1）求证AB⊥平面VAD（2）求面VAD与面VDB所成的二面角大小.
四棱锥ABCD中,底面ABCD是正方体,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥平面ABCD.（1）求证AB⊥平面VAD
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角大小.
四棱锥ABCD中,底面ABCD是正方体,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥平面ABCD.（1）求证AB⊥平面VAD（2）求面VAD与面VDB所成的二面角大小.
（1）证明：由题意底面ABCD是正方形,则有：
AB⊥AD
又平面VAD⊥平面ABCD且平面VAD∩平面ABCD＝AD
所以由面面垂直的性质定理可得：
AB⊥平面VAD
作VC中点E,连结AE,BE
则在正三角形VAD中,有AE⊥VC
由第1小题知AB⊥平面VAD
则BE在平面VAD内的射影是AE
所以由三垂线定理可得：
BE⊥VC
易知∠AEB就是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角
令底面正方形ABCD边长等于a
则AB=AC=a,AE=√3/2 *AC=√3/2 *a
所以在Rt△BAE中,tan∠AEB＝AB/AE=a/(√3/2 *a)=2√3/3
即∠AEB＝arctan (2√3/3)
所以面VAD与面VDB所成的二面角大小是arctan (2√3/3)
(1)因ABCD为正方形，则AB垂直AD
又面VAD垂直面ABCD且两面交于直线AD
所以AB垂直面VAD
（2）取VD中点E，因VAD为正三角形，则AE垂直DV
又AB垂直面VAD，则AB垂直DV，AB垂直AE
则DV垂直面EAB，则DV垂直BE
则角BEA即为所求的二面角
设AB=a,则AE=(根3)a/2
tan角BEA=AB/...
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(1)因ABCD为正方形，则AB垂直AD
又面VAD垂直面ABCD且两面交于直线AD
所以AB垂直面VAD
（2）取VD中点E，因VAD为正三角形，则AE垂直DV
又AB垂直面VAD，则AB垂直DV，AB垂直AE
则DV垂直面EAB，则DV垂直BE
则角BEA即为所求的二面角
设AB=a,则AE=(根3)a/2
tan角BEA=AB/AE=(2根3)/3
角BEA=arctan[(2根3)/3]
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