作业帮凸2010边形的内角中,不是锐角的个数至少有几个
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 05:34:09
凸2010边形的内角中,不是锐角的个数至少有几个
凸2010边形的内角中,不是锐角的个数至少有几个
凸2010边形的内角中,不是锐角的个数至少有几个
2010边形的度数为：180*（2010-2）=361440度
假如有4个角接近于90度的话,2006个角接近于180度的话就接近于361440度,但比361440度小
所以不可能就4个角比90度小,最多只有3个,剩下的就不是锐角：2010-3=2007个
“不是锐角的个数至少有几个？”也就是锐角最多有几个。2010边不好分析，可以先举边数少的例子进行分析。如三角形：最多有三个锐角；四边形最多有三个锐角；五边形也是三个锐角；可以猜想边数继续增加最多也有三个锐角。
证明：
反证法：假设n边形中的锐角个数不至三个，
设凸n（n大于等于4）边形中有4个锐角分别为A、B、C、D。而任意n边形的内角度数为(n- ...
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“不是锐角的个数至少有几个？”也就是锐角最多有几个。2010边不好分析，可以先举边数少的例子进行分析。如三角形：最多有三个锐角；四边形最多有三个锐角；五边形也是三个锐角；可以猜想边数继续增加最多也有三个锐角。
证明：
反证法：假设n边形中的锐角个数不至三个，
设凸n（n大于等于4）边形中有4个锐角分别为A、B、C、D。而任意n边形的内角度数为(n- 2)*180
则n边形中其余角度数之和可表示为：(n-2)*180-（A+B+C+D）
因为锐角小于90度
所以A+B+C+D<360 即：(n-2)*180-（A+B+C+D）>(n-2)*180-360
那么n边形中其余角的平均度数：[(n-2)*180-（A+B+C+D)]/(n-40)>[(n-2)*180-360]/4=180
题中的2010边形是凸多边形，而现在得到的结果是除ABCD外的所有角都大于180，故与题
意矛盾。（该部分只是一个特例，证明时不用写）
这只是设有4个锐角，那么当设锐角个数大于4为m时：[(n-2)*180-（A+B+C+D)]/(n-40)>[(n-2)*180-90*m]/4=180*[(n-2-m/2)/(n-m)]
因为m>4
所以(n-2-m/2)/(n-m)>1
所以180*[(n-2-m/2)/(n-m)]>180
所以[(n-2)*180-（A+B+C+D)]/(n-40)>[(n-2)*180-90*m]/4=180*[(n-2-m/2)/(n-m)]>180与题意矛盾。
说明:“假设n边形中的锐角个数不至三个”是错误的。
故凸n（n大于等于4）边形中锐角个数最多只能有三个。
那么不是锐角的个数至少就有n-3个，即2010-3=2007个。
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