求微分方程d^2y/dt^2+y-a×sin(mt)=0的解（y对t的2阶导数+y-a乘sin(mt)=0）

求微分方程d^2y/dt^2+y-a×sin(mt)=0的解（y对t的2阶导数+y-a乘sin(mt)=0）
求微分方程d^2y/dt^2+y-a×sin(mt)=0的解（y对t的2阶导数+y-a乘sin(mt)=0）

求微分方程d^2y/dt^2+y-a×sin(mt)=0的解（y对t的2阶导数+y-a乘sin(mt)=0）
y''+y=asinmt
r^2+1=0 (特征方程)
=>r=+ -i
y=C1sinx+C2cosx
关键再求y*（特解）
y*=ksinmt
y*'=kmcosmt
y*''=-km^2sinmt
-km^2sinmt+ksinmt=asinmt
=>k-km^2=a
=>k=a/(1-m^2)
=>Y=C1sinx+C2cosx+a/(1-m^2)sinmt

y''+y=asinmt
r²+1=0 (特征方程)
r=+ -i
y=C1sint+C2cost
再求y*
1)当m≠+-1时
y*=ksinmt
y*'=kmcosmt，y*''=-km²sinmt
-km²sinmt+ksinmt=asinmt
k-km²=a，k=a/(1-m&...

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y''+y=asinmt
r²+1=0 (特征方程)
r=+ -i
y=C1sint+C2cost
再求y*
1)当m≠+-1时
y*=ksinmt
y*'=kmcosmt，y*''=-km²sinmt
-km²sinmt+ksinmt=asinmt
k-km²=a，k=a/(1-m²)
y=C1sint+C2cost+a/(1-m²)sinmt
2)当m=1时，y*=t(Asint+Bcost), y*'=Asint+Bcost+Atcost-Btsint, y*''=Acost-Bsint+Acost-Bsint-Atsint-Btcost
2Acost-2Bsint-Atsint-Btcost+t(Asint+Bcost)=asint, A=0,B=-a/2,
y*=-atcost/2
y=-atcost/2+C1sint+C2cost
3)当m=-1时，同2)可知:2Acost-2Bsint-Atsint-Btcost+t(Asint+Bcost)=asin(-t)=-asint, A=0,B=a/2,
y*=atcost/2
y=atcost/2+C1sint+C2cost
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接：∵齐次方程y''+y=0得特征方程是r²+r=0，则r=±i (i是虚数)
∴齐次方程y''+y=0的通解是y=C1cost+C2sint (C1,C2是积分常数)
（1）当m=1时，设原方程的解为y=(Acost+Bsint)t
代入原方程得2Bcost-2Asint=asint
...

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接：∵齐次方程y''+y=0得特征方程是r²+r=0，则r=±i (i是虚数)
∴齐次方程y''+y=0的通解是y=C1cost+C2sint (C1,C2是积分常数)
（1）当m=1时，设原方程的解为y=(Acost+Bsint)t
代入原方程得2Bcost-2Asint=asint
==>2B=0，-2A=a
==>A=-a/2，B=0
则原方程的特解是y=-(at/2)cost
故原方程的通解是y=C1cost+C2sint-(at/2)cost (C1,C2是积分常数)
（2）当m=-1时，同理可求得原方程的特解是y=(at/2)cost
故原方程的通解是y=C1cost+C2sint+(at/2)cost (C1,C2是积分常数)
（3）当m≠±1时，设原方程的解为y=Acos(mt)+Bsin(mt)
代入原方程得(1-m²)Acos(mt)+(1-m²)Bsin(mt)=asin(mt)
==>(1-m²)A=0，(1-m²)B=a
==>A=0，B=a/(1-m²)
则原方程的特解是y=asin(mt)/(1-m²)
故原方程的通解是y=C1cost+C2sint+asin(mt)/(1-m²) (C1,C2是积分常数)。

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