作业帮什么是积分因子?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 18:59:05
什么是积分因子?
什么是积分因子?
什么是积分因子?
积分因子就是设法找到一个e的幂函数,乘上微分方程后,使得原来的微分方程变成一个全微分方程.
就本题示范如下：
dy/dx = x + y
(x + y)dx - dy = 0
∵M = x+y,N = -1
M/y = 1,N/x = 0
[M/y -N/x]/N = -1
∴ I = e^[∫(-1)dx]=e^(-x)
d[e^(-x)(x + y)]=e^(-x)dx
e^(-x)(x + y)=-e^(-x)+C （C为积分常数）
x+y=-1+C*e^x
解为：y=-x-1+C*e^x （答案）
验证：dy/dx=-1+ce^x
=-1+(x+y+1)
=x+y 【解答正确】
1、将微分方程写成：
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式
2、把上面的形式想像得绝对完美一些,
如果M(x,y)来自于一个多元函数对x的偏导；
如果N(x,y)来自于一个多元函数对y的偏导.
那么只要将M(x,y)对x积分；N(x,y)对y积分.
3、假如是这样,假设原函数是U(x,y)
M(x,y)=U/x,N(x,y)=U/y
dU = (U/x)dx + (U/y)dy
由于二阶导数的先后不影响结果,即：
U/xy =U/yx
4、将M(x,y)对y求偏导,N(x,y)对x求偏导；
然后相减：M/y -N/x
5、将M/y-N/x除以M(x,y),结果如果是y的函数,就对y积分；
将M/y-N/x除以N(x,y),结果如果是x的函数,就对x积分.
6、将积分结果作为e的幂,这就是积分因子.
7、将积分因子乘上去,就可求解了.
积分因子是微分方程中的概念，就是在解微分方程时在方程的两边同时乘以一个因子或同时除以一个因子，使得积分更加容易。例如我们要解微分方程y'+2xy=0, 我们可以用分离变量的方法求解。但也可以方程两边同时乘以e^(x^2). 于是就有
e^(x^2)y'+2xe^(x^2)y=0, 即有(ye^(x^2))'=0,
所以积分可以得到ye^(x^2)=C, 最后得通解为
y=C...
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积分因子是微分方程中的概念，就是在解微分方程时在方程的两边同时乘以一个因子或同时除以一个因子，使得积分更加容易。例如我们要解微分方程y'+2xy=0, 我们可以用分离变量的方法求解。但也可以方程两边同时乘以e^(x^2). 于是就有
e^(x^2)y'+2xe^(x^2)y=0, 即有(ye^(x^2))'=0,
所以积分可以得到ye^(x^2)=C, 最后得通解为
y=Ce^(-x^2).
上面的e^(x^2)就是积分因子.
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