作业帮设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0(1)求a^2+b^2的最大值和最小值（2）求b/a的取值范围（3）求a+2b的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 18:35:05
设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0(1)求a^2+b^2的最大值和最小值（2）求b/a的取值范围（3）求a+2b的取值范围
设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0
(1)求a^2+b^2的最大值和最小值
（2）求b/a的取值范围
（3）求a+2b的取值范围
设a,b属于R,且满足a^2+b^2-6a-4b+12=0(1)求a^2+b^2的最大值和最小值（2）求b/a的取值范围（3）求a+2b的取值范围
平方（a-3）^2+（b-2）^2=1
显然a^2+b^2=t^2>0
2个圆关系显然t和（a-3）^2+（b-2）^2=1外切最小,内切最大
圆心（2 3）到原点 根13
内切半径（ 根13）+1 外切半径（ 根13）-1 结果平方就得到
2.方法有三个 三角换元
初中b/a=t b=at代入成为a的一元二次方程,判别式>=0解出t范围
高中（b-（-0））/（a-（-0））
即（a b）的斜率,显然下切最小,上切最大
2.方法前2个一样
(1,2)易知a,b>0,则记u=sqrt(a^2+b^2), phi=arctan(b/a), alpha=arctan(2/3)
代入方程于是：u^2-u*2*sqrt(13)cos(phi-alpha)+12=0
该曲线分成两段：一：u=sqrt(13)cos(phi-alpha)+sqrt[ 13cos^2(phi-alpha)-12 ]
易知此段2sqrt(3...
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(1,2)易知a,b>0,则记u=sqrt(a^2+b^2), phi=arctan(b/a), alpha=arctan(2/3)
代入方程于是：u^2-u*2*sqrt(13)cos(phi-alpha)+12=0
该曲线分成两段：一：u=sqrt(13)cos(phi-alpha)+sqrt[ 13cos^2(phi-alpha)-12 ]
易知此段2sqrt(3)<=u<=sqrt(13)+1。
二：u=sqrt(13)cos(phi-alpha)-sqrt[ 13cos^2(phi-alpha)-12 ]
易知此段sqrt(13)-1<=u<=2sqrt(3)。
于是14-2sqrt(13)<=u^2<=14+2sqrt(13)。
14-2sqrt(13)<=a^2+b^2<=14+2sqrt(13)---------------------------------------------(1)
而cos(phi-alpha)=(u^2+12)/u/2/sqrt(13)>=sqrt(12/13)
于是：-arccos(sqrt(12/13))<=phi-alpha<=arccos(sqrt(12/13))
于是：(3-sqrt(3))/4 = tan[ arctan(2/3)-arccos(sqrt(12/13)) ]<=tan(phi)
<=tan[ arctan(2/3)+arccos(sqrt(12/13)) ] = (3+sqrt(3))/4
(3-sqrt(3))/4<=b/a<=(3+sqrt(3))/4--------------------------------------------------------(2)
(3) 记X=a+2b,Y=2a-b 代入方程则：(X-7)^2+(Y-4)^2=5
所以：-sqrt(5)<=X-7<=sqrt(5)
于是： 7-sqrt(5)<=X<=7+sqrt(5)
7-sqrt(5)<=a+2b<=7+sqrt(5)--------------------------------------------------------------(3)
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