作业帮已知函数f(x)=(x-a的绝对值),g(x)=x^2+2ax+1(a为正常数)且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等.(1)求a的值.(2)求函数f(x)-g(x)的单调递增区间.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 09:45:09
已知函数f(x)=(x-a的绝对值),g(x)=x^2+2ax+1(a为正常数)且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等.(1)求a的值.(2)求函数f(x)-g(x)的单调递增区间.
已知函数f(x)=(x-a的绝对值),g(x)=x^2+2ax+1(a为正常数)
且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等.
(1)求a的值.
(2)求函数f(x)-g(x)的单调递增区间.
已知函数f(x)=(x-a的绝对值),g(x)=x^2+2ax+1(a为正常数)且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等.(1)求a的值.(2)求函数f(x)-g(x)的单调递增区间.
（1）依题意,有f(0)=g(0),即|0-a|=1,考虑到a>0,解得：a=1
（注：所谓函数图像在y轴上的截距,即函数图像与y轴的交点P的纵坐标,此时点P的横坐标显然为0,因此只需将x=0代入函数解析式,求出相应的函数值即可.简单地说,函数f(x)的图像在y轴上的截距就是f(0)）
（2）令h(x)=f(x)-g(x)=|x-a|-x^2-2ax-1
显然,这是一个分段函数,以下分段讨论其单调性.
①当x≥a时,h(x)=x-a-x^2-2ax-1=-x^2+(1-2a)x-a-1
此时,h(x)是一个二次函数,其图像是开口向下的抛物线的一段,其单调区间与其对称轴的位置密切相关.
不难知道,此时h(x)的对称轴为x=(1-2a)/2
(1-2a)/2-a=(1-4a)/2,因此分情形讨论如下：（最好作出抛物线的草图帮助分析）
（i）(1-4a)/2≥0,即0<a≤1/4时,(1-2a)/2≥a
此时,h(x)在[a,(1-2a)/2]上单调递增,在[(1-2a)/2,+∞)上单调递减；
（ii）(1-4a)/2<0,即a>1/4时,(1-2a)/2<a
此时,h(x)在[a,+∞)上单调递减；
②当x<a时,h(x)=a-x-x^2-2ax-1=-x^2-(1+2a)x+a-1
不难知道,此时h(x)的对称轴为x=-(1+2a)/2
此时-(1+2a)/2<0<a,
因此h(x)在(-∞,-(1+2a)/2]上单调递增,在[-(1+2a)/2,a]上单调递减；
综合①②可知：
0<a≤1/4时,h(x)在(-∞,-(1+2a)/2]和[a,(1-2a)/2]上单调递增,在[-(1+2a)/2,a]和[(1-2a)/2,+∞)上单调递减；
a>1/4时,h(x)在(-∞,-(1+2a)/2]上单调递增,在[-(1+2a)/2,+∞)上单调递减.
（注：右下图即a>1/4时的情形中,直线x=a和直线x=(1-2a)/2的位置颠倒了,懒得修改,见谅了……）
