作业帮已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围我在电脑上也看到了不少答案,但是都太麻烦了,老师能不能将这道题的分析过程（思考过程）详细的说一下.麻烦您了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 17:03:43
已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围我在电脑上也看到了不少答案,但是都太麻烦了,老师能不能将这道题的分析过程（思考过程）详细的说一下.麻烦您了
已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围
我在电脑上也看到了不少答案,但是都太麻烦了,老师能不能将这道题的分析过程（思考过程）详细的说一下.麻烦您了
已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围我在电脑上也看到了不少答案,但是都太麻烦了,老师能不能将这道题的分析过程（思考过程）详细的说一下.麻烦您了
题目：已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.
思路分析：对称暗含两个意思：一是两对称点的中点必在对称直线上；二是两对称点所在直线必与对称直线垂直,由此可得斜率关系即斜率乘积为-1.
由此想到先设出两对称点所在直线方程,再与双曲线方程联立,由根与系数之间的关系以及相交条件求出k的取值范围.
实现过程：直线l过定点M(0,4),既然双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线l:y=kx+4的对称点,考虑特殊情况k=0和k=∞,显然满足条件,除这两种特殊情况外,直线l:y=kx+4必与双曲线相交于A、B两点,且直线AB垂直于直线l,据此可以求出直线AB斜率,设出其方程,再与双曲线方程联立,由根与系数关系可得出A、B中点C坐标,而C必在直线l上,代入可得一等式,然后由相交条件可知△>0,又可得一不等式,由这两个式子联立即可求出k的取值范围
详细解题过程：
设双曲线x^2-y^2/3=1上关于直线l:y=kx+4的对称点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB必垂直于直线l,
⑴若k=0,直线l方程为y=4,k=∞,直线l即为y轴,显然都满足条件；
⑵若k≠0,则直线AB斜率为-1/k,
设直线AB方程为y=(-1/k)x+b,
与双曲线方程x^2-(y^2)/3=1联立,消去y,可得
x^2-[(-1/k+b)^2]/3=1
整理得[3*(k^2)-1]*x^2+2bkx-(b^2+3)*x^2=0
由已知条件可知△>0(因为有A、B两个交点)
即△=(2bk)^2-4*[3*(k^2)-1]*[-(b^2+3)]>0
亦即(b^2)*(k^2)+[3*(k^2)-1]*(b^2+3)*k^2>0……①
由根与系数之间的关系可得
x1+x2=(-2bk)/[3*(k^2)-1]
y1+y2=(-1/k)x1+b+(-1/k)x2+b=(-1/k)(x1+x2)+2b=(2b)/[3*(k^2)-1]+2b
A、B中点C((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)即((-bk)/[3*(k^2)-1],b/[3*(k^2)-1]+b)在直线l上
将其坐标代入直线l方程中可得
b/[3*(k^2)-1]+b=[-b(k^2)]/[3*(k^2)-1]+4
解得b=3-1/(k^2)……②
将②式代入①式消去b可得
{[3-1/(k^2)]^2}*(k^2)+[3*(k^2)-1]*{[3-1/(k^2)]^2+3}*k^2>0
整理可得12*(k^4)-7*(k^2)+1>0
即k^2>1/3或k^2