作业帮求指数函数导数的求证过程关于e的x次幂的导数和a的x次幂的导数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 17:43:57
求指数函数导数的求证过程关于e的x次幂的导数和a的x次幂的导数
求指数函数导数的求证过程
关于e的x次幂的导数和a的x次幂的导数
求指数函数导数的求证过程关于e的x次幂的导数和a的x次幂的导数
y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
f(x)=e^x
f'(x)=lim[e^(x+△x)-e^x]/△x(△x趋于0)
=lim[e^x(e^△x-1)]/△x(△x趋于0)
(e^△x-1)~△x（等价无穷小）(△x趋于0)
=lime^x(△x/△x）(△x趋于0)=e^x
f(x)=a^x
f'(x)=lim[a^(x+△x)-a^x]/△x...
全部展开
f(x)=e^x
f'(x)=lim[e^(x+△x)-e^x]/△x(△x趋于0)
=lim[e^x(e^△x-1)]/△x(△x趋于0)
(e^△x-1)~△x（等价无穷小）(△x趋于0)
=lime^x(△x/△x）(△x趋于0)=e^x
f(x)=a^x
f'(x)=lim[a^(x+△x)-a^x]/△x(△x趋于0)
=lima^x(a^△x-1)/△x(△x趋于0)
(a^△x-1)~△xlna（等价无穷小）(△x趋于0)
=a^xlna
收起
(e^x)'=e^x (这已经是最基本的了）
(a^x)'=[e^(lna*x)]'=e^(lna*x) *[(lna*x)]'=a^x *lna