作业帮【高一数学】数列和解三角形部分的几道题目三角形ABC中,a.b.c分别为角A.B.C的对边,若abc成等差数列,角B是30°,ABC面积是3/2,那么b等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 20:04:43
【高一数学】数列和解三角形部分的几道题目三角形ABC中,a.b.c分别为角A.B.C的对边,若abc成等差数列,角B是30°,ABC面积是3/2,那么b等于多少?
【高一数学】数列和解三角形部分的几道题目
三角形ABC中,a.b.c分别为角A.B.C的对边,若abc成等差数列,角B是30°,ABC面积是3/2,那么b等于多少?
【高一数学】数列和解三角形部分的几道题目三角形ABC中,a.b.c分别为角A.B.C的对边,若abc成等差数列,角B是30°,ABC面积是3/2,那么b等于多少?
方法1:
由余弦定理有:b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-√3ac
S=1/2acsinB=ac/4=3/2
∴ac=6
又2b=a+c
∴a²+c²-√3ac=(a+c)²-2ac-√3ac=4b²-6(2+√3)=b²
所以b²=4+2√3
b=√3+1
方法2:
由正弦定理有:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴a=sinA/sinB*b=2bsinA,c=2bsinC
S=1/2acsinB=b²sinAsinC=3/2
又2b=a+c,则2b=2b(sinA+sinC)
∴sinA+sinC=1
sinA+sinC=2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)=1(和差化积)
两边平方得到:4sin²((A+C)/2)cos²((A-C)/2)
=(1-cos(A+C))(1+cos(A-C))=1(倍角公式)
∴cos(A-C)=1/(1-cos(180-30))-1=3-2√3
sinAsinC=1/2(cos(A-C)-cos(A+C))=(3-2√3+√3/2)/2=3/2-3√3/4
∴b²=3/(2(3/2-3√3/4))=(√3+1)²
∴b=√3+1
∵S△=1/2sinBac
∴ac=6
∵cosB=(a²+c²-b²)/2ac ①
(a+c)²-2ac=a²+c² ②
∵abc成等差数列
∴2b=a+c,代入①和②
∴b²=(√3+1)²
∴b=√3+1
b等于20°,30°乘3/2等于20°百度地图