已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABCD是直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α（0＜α＜90°）,点B在底面上的射影D落在BC上.1.求证：AC⊥平面BB1C1C2.当为何值时,AB1⊥BC1,且使D恰为BC中点3.若cosα=1/

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 20:57:56

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABCD是直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α（0＜α＜90°）,点B在底面上的射影D落在BC上.1.求证：AC⊥平面BB1C1C2.当为何值时,AB1⊥BC1,且使D恰为BC中点3.若cosα=1/
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABCD是直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α（0＜α＜90°）,点B在底面上的射影D落在BC上.
1.求证：AC⊥平面BB1C1C
2.当为何值时,AB1⊥BC1,且使D恰为BC中点
3.若cosα=1/3,且AC=BC=AA1时,求二面角C1-AB-C的大小

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABCD是直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α（0＜α＜90°）,点B在底面上的射影D落在BC上.1.求证：AC⊥平面BB1C1C2.当为何值时,AB1⊥BC1,且使D恰为BC中点3.若cosα=1/
1、应该是点B1在底面上的射影D落在BC上吧?
若是,则连结B1D,
B1D⊥平面ABC,
∵AC∈平面ABC,
∴B1D⊥AC,
∵<ACB=90°
AC⊥BC,
B1D∩AC=D,
∴AC⊥平面BCC1B1,证毕.
2、应为α为何值时,AB1⊥BC1,且使D恰为BC中点吧?
要既保证AB1⊥BC1,又保证D是BC的中点,即B1D是BC的垂直平分线,则BC1⊥平面ACB1,则BC1⊥B1C,则平行四边形BCC1B1对角线相互垂直,则四边形BCC1B1是菱形,BC=BB1,
同时B1D是BC垂直平分线,则BB1=B1C,
因此三角形BB1C是正三角形,〈B1BC=60度,
而B1D⊥平面ABC,
〈B1BC是BB1与平面ABC的成角α,
∴α=60°.
3、延伸平面BB1C1C,在该平面上作C1H⊥BC,设AC=BC=AA1=1,
则△B1BD≌△C1CH,sinα=2√2/3,
C1H=CC1*sinα= AA1**sinα=2√2/3,
CH=CC1*cosα=1/3,
BH=BC+CH=4/3,
AH=√（AC^2+CH^2）=√10/3,
AC1=√(AH^2+C1H^2)= √2,
BC1=2√6/3,
AB=√2,
在三角形ABC1中,根据余弦定理,
BC1^2=AB^2+AC1^2-2*AB*AC1cos<BAC1,
cos<BAC1=1/3,sin<BAC1=2√2/3,
S△ABC1=AB*AC1sin<BAC1/2=2√2/3,
S△ABH=AH*BC/2=√10/3/2=√10/6,
设二面角C1-AB-C平面角为β,
S△ABC1*cosβ= S△ABH
cosβ=(√10/6)/( 2√2/3)= √5/4.
β=arccos(√5/4), 二面角C1-AB-C为arccos(√5/4).

AC⊥平面BB1C1CAB1⊥BC1，且使D恰为BC中点
若cosα=1/3，且AC=BC=AA1时，求二面角C1-AB-C的大小