作业帮已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC的射影为△ABC的中心.设设侧棱长为a,怎么求得AB1=（√3）*a?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 08:53:57
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC的射影为△ABC的中心.设设侧棱长为a,怎么求得AB1=（√3）*a?
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC的射影为△ABC的中心.设设侧棱长为a,怎么
求得AB1=（√3）*a?
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC的射影为△ABC的中心.设设侧棱长为a,怎么求得AB1=（√3）*a?
连A1B
∵A1在底面ABC的射影为△ABC的中心
∴A1A=A1B
∴△A1AB为正三角形
设A1B与AB1的交点为O
则AO=√3·a/2
∴AB1=√3·a
令△ABC的中心为O，连接CO并延长交AB于D，过B1作B1E⊥AB交AB的延长线于E，再过B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F
因为，侧棱与底面边长相等，所以，AB＝a
∵AB＝AC＝BC＝a，O是△ABC的中心
∴CD⊥AD、AD＝BD＝a/2
∵O是A1在平面ABC上的射影
∴A1O⊥平面ABC
∴AD⊥A1O，又AD⊥CD、C...
全部展开
令△ABC的中心为O，连接CO并延长交AB于D，过B1作B1E⊥AB交AB的延长线于E，再过B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F
因为，侧棱与底面边长相等，所以，AB＝a
∵AB＝AC＝BC＝a，O是△ABC的中心
∴CD⊥AD、AD＝BD＝a/2
∵O是A1在平面ABC上的射影
∴A1O⊥平面ABC
∴AD⊥A1O，又AD⊥CD、CD∩A1O＝O，
∴AD⊥平面A1DC
∴AD⊥A1D。
由AA1＝a、AD＝a/2、AD⊥A1D，
得：A1D＝√(AA1²－AD²)＝√(a²－a²/4)＝√3a/2
∵A1D⊥AB、B1E⊥AB，∴A1D∥B1E
∵ABC－A1B1C1是三棱柱，∴A1B1∥AB
由A1D∥B1E、A1B1∥AB，得：A1DEB1是平行四边形
∴B1E＝A1D＝√3a/2、DE＝A1B1＝a。
AE＝AD＋DE＝a/2＋a＝3a/2。
∴AB1＝√(AE²＋B1E²)＝√(9a²/4＋3a²/4)＝√3a
收起
设h=A1O垂直于底面交底面于中心O点。AO=½√3a×(2/3)＝(√3/3)a. 在三角形A1AO中，求出h=(√6/3)a. 在平面A1AH中作AD垂直于H1A1交于D。则AD=h。 连结S1D，在含有150度角的三角形A1B1D中，用余弦定理求出B1D。 在直角三角形AB1D中求出AB1.即可交卷。 自己完成好吧？
因为A1在底面的投影在底面中心，所以A1A=A1B=A1C，有A1A=AB,故三角形A1AB为等边三角形，故∠A1AB=60度，也就是菱形A1ABB1的一个角为60度，由此可以算出对角线AB1的长度等于边长的根号3倍