怎样求二面角的平面角

怎样求二面角的平面角
怎样求二面角的平面角

怎样求二面角的平面角

我们求二面角的平面角的常用方法有3类：

        一、 直接法：其中包括定义法、垂线法、垂面法 

        定义法 ：步骤 ：

        1、在二平面的棱上取恰当的点（经常是端点和中点、如利用等腰(含等边)三角形底边的中点）

        2、过这个点分别在两半平面内做相棱的垂线,然后把两条垂线放到一个三角形中考虑.（有时也经常做两条垂线的平行线,使它们在一个更理想的三角形中）.

        说明：因为题目中所给的点或你能找到的特殊点分别向交线作垂线多半不交于一点,所以这种情况很少,因此有必要引导学生探究其他方法.

        垂线法：利用作（或找）面的垂线（线面垂直的判定和性质）作平面角.

        例1 锐二面角a-L-β,如图（1）所示,过a面的一点P,向β面作垂线,垂足为B,再过B向这二面角的棱L作垂线,垂足C,连接PC.可用三垂线定理证明 PCB就是这两个面的二面角

        例2 钝二面角a-L-β,如图（2）所示,过a面的一点P,向β面作垂线,垂足为B,过B向这二面角的棱l作垂线,垂足C,连接PC.

        则角 PCB为二面角a-L-β的平面角的补角.

        说明：引导学生在具体题目中注意判断二面角是钝二面角还是锐二面角是解决问题的前提.

        垂面法：（教材复习参考题二A组第10题提示）作二面角棱的垂面,则垂面与二面角形成的两交线所成的角就是二面角的平面角.

        说明：棱的垂面经常不会直接给出,而是以点到面的距离的条件呈现的.这样过此点所作的面的垂线是否落在半平面内,直接影响到所得到的两射线所成的角是二面角的平面角还是其补角. 

        例3 二面角内一点到两个面的距离分别为 、4,到棱的距离为 ,则二面角的度数为（75°或165°）

        解析：分两种情况：锐二面角和钝二面角

        1. 当二面角为锐二面角时,过点P向a、β半平面引垂线,垂足落在半平面内,此时P点的棱的垂面与两半平面的交线所成的角为二面角的平面角.

        2. 当二面角为钝二面角时,作平面 平面 ,作平面 平面 ,当P点在二面角 内时,过点P向a、 两半平面作垂线,垂足均落在半平面内,此时过P点且与棱垂直的平面与两半平面形成的两射线所成的角为二面角的平面角.

        当P点在二面角 内时,过点P向a、 两半平面作垂线,垂足不能同时落在两个半平面内,此时过P点且与棱垂直的平面与两半平面形成的两射线所成的角为二面角的平面角的补角.

        二、 间接法：

        面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦.”

        S射影面积＝S原图形面积＊cos(两个平面所成的二面角）

        即cosθ=S射影图/S原图

        (平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)

        证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算,即可.

        说明：运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易. 

        三、向量法：利用两个平面的法向量M,N的夹角来求,这是高考中最有效的办法不管有多难都可求出二面角的大小,也是最好的办法.不过求出后要根据二面角的实际大小来判断算出的结果与实际情况下的角是否相同利用空间向量求二面角的平面角步骤（设二面角平面角为θ） 

        1）建立空间直角坐标系； 

        2）设平面 的法向量为N(X1,Y1,Z1),平面 法向量为M(X2,Y2,Z2)； 

        3）在 内找两条线L1,L2,让N×L1=0,N×L2=0求出N的坐标,M也是如此求出； 

        4）然后利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值

        说明：锐二面角时,法向量的夹角即该二面角的平面角钝二面角时,法向量的夹角的补角为二面角的平面角 

        小结：

        ①方法一是基础,是基本概念的运用；方法二、三是射影、向量与二面角定义的综合,是拓展.只有理解掌握了第一类方法才能理解第二、三类方法.

        ②文科学生只需掌握第一类即可,对于理科学生掌握了上述三类方法,则有利于解决比较复杂的二面角问题.用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势,儿向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具,故,学会用向量法解决立体几何问题是学好立体几何的基础.