作业帮△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=c2-(a-b）2,且a+b=2,求面积S的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:00:42
△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=c2-(a-b）2,且a+b=2,求面积S的最大值
△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=c2-(a-b）2,且a+b=2,求面积S的最大值
△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=c2-(a-b）2,且a+b=2,求面积S的最大值
用
面积公式：S=1/2ab*sinC
和余弦定理
如下：
S=(absinC)/2
c^2-(a-b)^2=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-cosC)
得sinC=4(1-cosC),两边平方后
1-(cosC)^2=16(1-cosC)^2
(1-cosC)(15+17cosC)=0
cosC=-15/17 (cosC=1时C=0,舍去）
sinC=8/17
由a+b≥2根号(ab)得ab≤1
S最大值为S=(absinC)/2≤4/17
【注：海伦公式：三角形面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].其中，p=(a+b+c)/2.化简可得S=(1/4)*√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]】(1).由题设及海伦公式可得：16[（c+a-b)(b+c-a)]^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).===>16(c+a-b)(c+b-a)=(a+b+c)(a+b-c).===>1...
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【注：海伦公式：三角形面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].其中，p=(a+b+c)/2.化简可得S=(1/4)*√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]】(1).由题设及海伦公式可得：16[（c+a-b)(b+c-a)]^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).===>16(c+a-b)(c+b-a)=(a+b+c)(a+b-c).===>16[c^2-(a-b)^2]=(a+b)^2-c^2=4ab+(a-b)^2-c^2.===>16S=4ab-S.===>17S=4ab.(2).因a>0,b>0.a+b=2.===>2=a+b≥2√(ab).===>ab≤1.等号仅当a=b=1时取得，故（ab)max=1.由此可知，17S=4ab≤4,===>S≤4/17.===>Smax=4/17.
收起
2abcosC = a^2 + b^2 - c^2
S = absinC/2 = 2ab - 2abcosC --- sinC = 4(1 - cosC)
---tan(C/2) = 1/4 ----- sinC = 8/17
( sinα=2tan(α/2）/〔1+tan＾(α/2)〕
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
ab<= [(a+b)/2]^2 = 1
S = absinC/2 <= 4/17