已知X>0,Y>0,X+Y=1,用综合法证明:(1+1/X)(1+1/Y)>=9好的有奖.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 19:02:34
已知X>0,Y>0,X+Y=1,用综合法证明:(1+1/X)(1+1/Y)>=9好的有奖.

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已知X>0,Y>0,X+Y=1,用综合法证明:(1+1/X)(1+1/Y)>=9
好的有奖.

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证明:∵x>0,y>0,且x+y=1,
∴由基本不等式知,xy≤[(x+y)/2]²=1/4,(当且仅当x=y=1/2时取等号)
(1+1/x)(1+1/y)
=1+1/y+1/x+1/(xy)
=1+(x+y+1)/(xy)
=1+2/(xy)
≥1+2/(1/4)
=1+8
=9,(当且仅当x=y=1/2时取等号),
∴不等式得证.

(1+1/X)(1+1/Y)
=1+1/x+1/y+1/xy
=1+(x+y)/xy+1/xy
=1+2/xy
因为a^2+b^2>= 2ab .所以 1=x+y>=2根号(x*y)
两边平方得
1=(x+y)^2>=4*(xy) 得 xy<=1/4(x+y)^2=1/4 代入不等式得
=1+2/xy
>=1+2/(1/4)=1+8=9