初三二次函数主要知识点

初三二次函数主要知识点
初三二次函数主要知识点

初三二次函数主要知识点
初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地,形如（是常数,）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
　⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2．
　⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.
　　
的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质
\x09向上\x09\x09轴\x09时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．
\x09向下\x09\x09轴\x09时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．
2. 的性质：
上加下减.
的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质
\x09向上\x09\x09轴\x09时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．
\x09向下\x09\x09轴\x09时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．
3. 的性质：
　　左加右减.
的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质
\x09向上\x09\x09X=h\x09时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．
\x09向下\x09\x09X=h\x09时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．
4. 的性质：
的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质
\x09向上\x09\x09X=h\x09时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．
\x09向下\x09\x09X=h\x09时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
　　　方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标；
　　　⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下：
　　　
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移；值正上移,负下移”．
概括成八个字“左加右减,上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位,变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位,变成（或）

四、二次函数与的比较
　　从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,（若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）.
　　画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
　　
六、二次函数的性质
1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．
当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；当时,有最小值．
2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小；当时,有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
　1. 一般式：（,为常数,）；
　2. 顶点式：（,为常数,）；
　3. 两根式：（,是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
　　　二次函数中,作为二次项系数,显然．
⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大；
⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大．
　　　总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小．
　2. 一次项系数
　 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴．
　 ⑴ 在的前提下,
　　　　当时,即抛物线的对称轴在轴左侧；
　　　　当时,即抛物线的对称轴就是轴；
　　　　当时,即抛物线对称轴在轴的右侧．
　　　⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
　　　　当时,即抛物线的对称轴在轴右侧；
　　　　当时,即抛物线的对称轴就是轴；
　　　　当时,即抛物线对称轴在轴的左侧．
　　　总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．
　　　的符号的判定：对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置．
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
　　根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：
　　1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；
　　2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；
　　3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；
　　4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．
　　
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
　 1. 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是；
　　关于轴对称后,得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是；
　　关于轴对称后,得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是；
关于原点对称后,得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后,得到的解析式是；
　　关于顶点对称后,得到的解析式是．
5. 关于点对称
　　关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
　一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
　图象与轴的交点个数：
① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
　　　② 当时,图象与轴只有一个交点；
　　　③ 当时,图象与轴没有交点.
　　　　 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有；
　　　　 当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,；
3. 二次函数常用解题方法总结：
　⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；
　⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中,的符号,或由二次函数中,的符号判断图象的位置,要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
\x09抛物线与轴有两个交点\x09二次三项式的值可正、可零、可负\x09一元二次方程有两个不相等实根
\x09抛物线与轴只有一个交点\x09二次三项式的值为非负\x09一元二次方程有两个相等的实数根
\x09抛物线与轴无交点\x09二次三项式的值恒为正\x09一元二次方程无实数根.
十一、函数的应用
二次函数应用