作业帮n是自然数,试证明10能整除n^5-n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:43:10
n是自然数,试证明10能整除n^5-n
n是自然数,试证明10能整除n^5-n
n是自然数,试证明10能整除n^5-n
自然数n除以10余数有：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
如果n除以10余0,n^5-n被10整除；
如果n除以10余1,n^5除以10余1,余数相同的两个数之差被模整除,所以n^5-n被10整除；
如果n除以10余2,n^5除以10余2,余数相同的两个数之差被模整除,所以n^5-n被10整除；
…… …… ……
结论：n是自然数,试证明10能整除n^5-n
不可能，你随便带个数就知道了，例如2^5=64
64-2=62，不可能被10整除的
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)
必为偶数
若n,n+1,n-1中有5的倍数，则10能整除原式
若没有，则n的末位数字只能为2，3，7，8
（因为取末位是其它的数字时三数中必有一个末位数是5或0）
此时，n^2+1的末位数是5或0
即n，n^2+1，n+1，n-1中必有2的倍数，也必有5的倍数
所以10能整除...
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n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)
必为偶数
若n,n+1,n-1中有5的倍数，则10能整除原式
若没有，则n的末位数字只能为2，3，7，8
（因为取末位是其它的数字时三数中必有一个末位数是5或0）
此时，n^2+1的末位数是5或0
即n，n^2+1，n+1，n-1中必有2的倍数，也必有5的倍数
所以10能整除n^5-n
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首先 能被10整除说明此式子能被 2 整除 同时 能被5 整除
先证能被 2 整除
原式可化为 （n - 1）n（n + 1）（ n^2 + 1）可以看出 前3项为连续的3个自然数 则其中必有一个为2的倍数 得证
再证能被 5 整除
原式可化为 n（n^2 - 1）(n^2 + 1)
若n 为 5 的倍数 则得证
若n 为 5的倍数+1 不妨设 n ...
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首先 能被10整除说明此式子能被 2 整除 同时 能被5 整除
先证能被 2 整除
原式可化为 （n - 1）n（n + 1）（ n^2 + 1）可以看出 前3项为连续的3个自然数 则其中必有一个为2的倍数 得证
再证能被 5 整除
原式可化为 n（n^2 - 1）(n^2 + 1)
若n 为 5 的倍数 则得证
若n 为 5的倍数+1 不妨设 n = 5k + 1 则 n^2 -1 为 5的倍数 得证
若n 为 5的倍数+2 不妨设 n = 5k + 2 则 n^2 + 1 为5的倍数 得证
若n 为 5的倍数+3 不妨设 n = 5k + 3 则 n^2 + 1 为5的倍数 得证
若n 为 5的倍数+4 不妨设 n = 5k + 4 则 n^2 - 1 为5的倍数 得证
综上所述 10能整除 n^5 - n
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n^5-n=n(n^4-1)只要n(n^4-1)有因数2和5就成立，试用枚举法证明：
n个位是5，5^4-1=624，则n(n^4-1)既有因数2也有因数5.
n为其他奇数，则n的个位可能是1，3，7，9这四种可能。1^4-1=0;3^4-1=80;;7^4-1=2400;9^4-1=6560.此时n^4-1都是能被10整除的。
n为偶数，则n的个位可能是0，2...
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n^5-n=n(n^4-1)只要n(n^4-1)有因数2和5就成立，试用枚举法证明：
n个位是5，5^4-1=624，则n(n^4-1)既有因数2也有因数5.
n为其他奇数，则n的个位可能是1，3，7，9这四种可能。1^4-1=0;3^4-1=80;;7^4-1=2400;9^4-1=6560.此时n^4-1都是能被10整除的。
n为偶数，则n的个位可能是0，2，4，6，8这五种可能。若n=0,或n是整十整百……的数，命题自然成立。2^4-1=15;4^4-1=255;6^4-1=1295;8^4-1=4095,这几种情况(n^4-1)都有因数5，而n又含有因数2.
故命题成立。
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