想做一个底为正方形,容积为108m的三次方的长方形开口容器,怎么样做材料最省

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 03:51:35

想做一个底为正方形,容积为108m的三次方的长方形开口容器,怎么样做材料最省
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设底边为x,高为y,则y*x^2 = 108
需要材料为 x^2 + 4xy = S
即求S的最小值
x^2 + 4xy = x^2 + 2xy + 2xy >= 3³√(x^2 * 2xy * 2xy) = 3³√(4*x^4*y^2)
= 3³√(4*108*108) = 3*4*9 = 108平方米
当且仅当 x^2 = 2xy 即x=2y = 6m时有最小值

设高为x，则底边为：√(108/x)
长方体表面积为一个正方形底面加上四个侧面
表面积=√(108/x)×√(108/x)+√(108/x)×x×4=108/x+24√(3x)
当x=3时函数f(x)=108/x+24√(3x)有最小值：x=3；y=108
底边=√(108/x)=√(108/3)=6m
材料最省的下料为：底边长为6m的正方形，高3m。...

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