试说明4个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数（说明必须具有一般性,而不能列举一些数来解答此题

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 14:49:01

试说明4个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数（说明必须具有一般性,而不能列举一些数来解答此题
试说明4个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数（说明必须具有一般性,而不能列举一些数来解答此题

试说明4个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数（说明必须具有一般性,而不能列举一些数来解答此题
设这四个连续的自然数为 a-1,a,a+1,a+2
(a-1)*a*(a+1)*(a+2)+1
=(a^2-1)(a^2+2a)+1
=a^4-a^2+2a^3-2a+1
=a^4+2a^3-a^2-2a+1
=a^2(a^2+2a+1)-2a^2-2a+1
=[a(a+1)]^2-2a(a+1)+1
=[a(a+1)-1]^2
即,不论这四个连续的自然数从哪一个数开始,4个连续自然数的积与1的和一定是一个完全平方数

设这4个连续自然数为：x、x+1、x+2、x+3，
x*(x+1)*(x+2)*(x+3)+1
=x*(x^2+3x+2)*(x+3)+1
=x*(x^3+6x^2+11x+6)+1
=x^4+6x^3+11x^2+6x+1
=(x^2+3x+1)^2
x^2+3x+1一定是自然数，因此原命题成立。

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)+1
=n^4-6n^3+11n^2-6n+1
=n^4-6n^3+9n^2+2n^2-6n+1
=n^2*(n^2-6n+9)+2(n^2-3n)+1
=(n(n-3))^2+2*n(n-3)+1
=(n(n-3)+1)^2

数学归纳法啊设四个数是N-1,N,N-1,N+2然后我忘了啊应该是成开来合并等方法试试看啊

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