如图, 互不相同的点A1, A2, …, An, …和B1, B2, …, Bn, …分别在角O的两条边上, 所有AnBn相互平行, 且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等. 设OAn=an. 若a1=1, a2=2, 则数列{an}的通项公式是　　　　. 解析

如图, 互不相同的点A1, A2, …, An, …和B1, B2, …, Bn, …分别在角O的两条边上, 所有AnBn相互平行, 且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等. 设OAn=an. 若a1=1, a2=2, 则数列{an}的通项公式是　　　　. 解析
如图, 互不相同的点A1, A2, …, An, …和B1, B2, …, Bn, …分别在角O的两条边上, 所有AnBn相互平行, 且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等. 设OAn=an. 若a1=1, a2=2, 则数列{an}的通项公式是　　　　. 解析：记△OA1B1的面积为S, 则△OA2B2的面积为4S. 从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S. 即得△OAnBn的面积为S+3(n-1) S=(3n-2) S
为什么?!∴a^2=3n-2, 即an=.

如图, 互不相同的点A1, A2, …, An, …和B1, B2, …, Bn, …分别在角O的两条边上, 所有AnBn相互平行, 且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等. 设OAn=an. 若a1=1, a2=2, 则数列{an}的通项公式是　　　　. 解析
由已知S梯形AnBnBn＋1An＋1 ＝S梯形An＋1Bn＋1Bn＋2An＋2 S△OBn＋1An＋1－S△OBnAn ＝S△OBn＋2An＋2－S△OBn＋1An＋1,即S△OBnAn＋S△OBn＋2An＋2＝2S△OBn＋1An＋1
由相似三角形面积比是相似比的平方知OA2n＋OA2n＋2＝2OA2n＋1,即a2n＋a2n＋2＝2a2
n＋1,因此{a2n}为等差数列a2n＝a21＋3(n－1)＝3n－2,
an＝√3n－2.

设S△OA1B1＝S，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到
S△OA1B1
S△OA2B2
=(
1
2
)2=
1
4
，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：

全部展开

设S△OA1B1＝S，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到
S△OA1B1
S△OA2B2
=(
1
2
)2=
1
4
，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：
a
2
2
a
2
1
＝
4S
S
＝
4
1
，
a
2
3
a
2
2
＝
7S
4S
＝
7
4
，
a
2
4
a
2
3
＝
10
7
，…，已知
a
2
1
＝1，
a
2
2
＝4，可得
a
2
3
＝7，…．因此数列{
a
2
n
}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得参考网址到an．
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/0ae94c8f-78a2-4b9f-8c63-878ffb02f56d
设S△OA1B1＝S，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，
∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴
S△OA1B1
S△OA2B2
=(
1
2
)2=
1
4
，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．
故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．
∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴
a
2
2
a
2
1
＝
4S
S
＝
4
1
，
a
2
3
a
2
2
＝
7S
4S
＝
7
4
，
a
2
4
a
2
3
＝
10
7
，…，
∵
a
2
1
＝1，∴
a
2
2
＝4，
a
2
3
＝7，…．
∴数列{
a
2
n
}是一个等差数列，其公差d=3，故
a
2
n
=1+（n-1）×3=3n-2．
∴an＝
3n−2
．
因此数列{an}的通项公式是an＝
3n−2
．
故答案为an＝
3n−2
．
参考资料http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/0ae94c8f-78a2-4b9f-8c63-878ffb02f56d

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