作业帮求微分方程4y''-12y'+9y=3x-4的通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:42:53
求微分方程4y''-12y'+9y=3x-4的通解
求微分方程4y''-12y'+9y=3x-4的通解
求微分方程4y''-12y'+9y=3x-4的通解
先求特解
设y=ax+b
y'=a
y''=0
-12a+9ax+b=3x-4
b=0
a=1/3
特解为yt=x/3
4y''-12y'+9y=0
解得yu=c1 e^(3x/2)+c2 x e^(3x/2)
通解为y=yt+yu=c1 e^(3x/2)+c2 x e^(3x/2)+x/3
此题求的其实是非齐次微分方程的特解。
先求齐次方程4y''-12y'+9y=0的通解。此方程的特征根满足4λ^2-12λ+9=0，求得λ1=λ2=3/2
所以齐次微分方程的通解为y(x)=(C1+C2x)e^(3x/2)
再求非齐次微分方程的特解，运用微分算子D（注：Dy即是求导运算dy/dx，(D^2)y即是求y关于x的二阶导数，以此类推），令特解为y*(x)，所求微分方...
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此题求的其实是非齐次微分方程的特解。
先求齐次方程4y''-12y'+9y=0的通解。此方程的特征根满足4λ^2-12λ+9=0，求得λ1=λ2=3/2
所以齐次微分方程的通解为y(x)=(C1+C2x)e^(3x/2)
再求非齐次微分方程的特解，运用微分算子D（注：Dy即是求导运算dy/dx，(D^2)y即是求y关于x的二阶导数，以此类推），令特解为y*(x)，所求微分方程的解y=y(x)+y*(x)
有(4D^2-12D+9)y*(x)=3x-4，即y*(x)=[1/(4D^2-12D+9)]*(3x-4)
因为3x-4最高次数为1，1/(4D^2-12D+9)利用Taylor公式展开只需要展开到1次项D就够了，因为2次以上的D^n对(3x-4)求导运算都是0！！
故y*(x)=[1/(4D^2-12D+9)]*(3x-4)=[1/9+4D/27+o(D^2)](3x-4)=(3x-4)/9+4D(3x-4)/27=x/3
所以，y=(C1+C2x)e^(3x/2)+x/3就是原微分方程的解。
一楼的结果是没错，但是考试却不会有分。因为你凭什么一来就主观认定y是一个一次函数，然后开始往后做？！我们甚至在做之前都不知道y最后是一个什么东西，是不是初等函数都不一定，也许会有一个非初等部分，只是后面消掉了而已。题目没有任何信息显示这一点，所以第一步就错了，而且这样做显然是没学过常微分方程的。因此，可以毫不掩饰地说，一楼是“蒙对的答案”——运气好答案就这一种，没其它的了——而作为一个大题来讲，此题就是0分。
以上所说不针对人，只针对这种做法，为题主负责而已。
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