作业帮利用直角梯形证明勾股定理
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 09:36:37
利用直角梯形证明勾股定理
利用直角梯形证明勾股定理
利用直角梯形证明勾股定理
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2),①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2).②
比较以上二式,便得
a2+b2=c2.
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明.5年后,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法,这在数学史上被传为佳话.
(我也是复制来的,所以没有图,多多包含哟）
一、总统证法 在勾股定理的500多种证法中有一种是美国第二十任总统伽菲尔德的证明方法，而且这种证法方法简便，他的这种证法在数学史上还被传为佳话，称为“总统”证法. 伽菲尔德是这样来证明的：将大小相同的两个直角三角形拼成如图1所示那样，即得到一个直角梯形ABCD，此时直角梯形ABCD的面积是 (a+b)2＝ (a2+2ab+b2），又此时的直角梯形ABCD的面积是S△AED+S△EBC+S△CED＝ ab+ ba+ c2＝ (2ab+c2)，所以有a 2+b2＝c 2，于是证明了勾股定理. 二、中国著名数学家赵爽的正方形面积证法 我国三世纪时著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中的证明，算得上是比较简单、优美的证法. 如图2，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等的直角三角形，已知它们的直角边为a、b，利用这个图证明勾股定理. 证明 因为大正方形边长为c，所以大正方形的面积为c2. 又大正方形是又四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的，所以大正方形的面积＝4× ab+(a－b)2＝a2+b2.所以a2+b2＝c2. 三、扳倒火柴盒与勾股定理的验证 操作：如图3，把一只长方形火柴盒ABCD站立在桌面上，若从AB的侧面的上端轻轻向右推一下，使火柴盒绕点C倒向右边（此时火柴盒不滑动），即得到水平放置的火柴盒A′B′CD′， 观察：△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.若AB＝b，BC＝a，AC＝c，则a2+b2＝c2. 验证：连结AC、A′C、AA′.由三角形全等的知识容易得到AC⊥A′C. 因为梯形ABD′A′ 的面积＝ (A′D′+AB)•BD′＝ (a+b)(b+a)＝ (a+b)2. 而为梯形ABD′A′ 的面积＝SΔABC+SΔA′CD′+SΔACA′＝ ab+ ba+ c2. 即 (a+b)2＝ ab+ ba+ c2. 所以a2+b2＝c2. 四、欧几里得的证明方法 欧几里得在他的《几何原本》中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明.由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣.华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙和“外星人”进行交流. 下面请同学们看一下欧几里得的验证方法： 如图4所示，做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. 因为AF ＝AC，AB＝AD，∠FAB＝∠GAD，所以ΔFAB可以看成是由△CAD绕点A旋转而得到的，因为△FAB的面积等于 a2，△GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，所以矩形ADLM的面积＝a2.同理可证，矩形MLEB的面积＝b2.而正方形ADEB的面积＝矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积，所以c2＝a2+b2，即a2+b2＝c 2. 但愿帮得上你。