作业帮数学函数（高中）若f(x+y)=f(x)+f(y)那么f(x-y)=f(x)-f(y)成立吗?证明或举反例
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:45:47
数学函数（高中）若f(x+y)=f(x)+f(y)那么f(x-y)=f(x)-f(y)成立吗?证明或举反例
数学函数（高中）
若f(x+y)=f(x)+f(y)
那么f(x-y)=f(x)-f(y)成立吗?
证明或举反例
数学函数（高中）若f(x+y)=f(x)+f(y)那么f(x-y)=f(x)-f(y)成立吗?证明或举反例
成立
证明：因为f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f（x+y-y）=f(x+y)+f(-x)
即f（x）=f(x)+f（y）+f（-y）
移向得f（-y）=-f(y)
同理f（x+y-x）=f（x+y）+f（-x）
f（y）=f(x)+f(y)+f(-y)
综上所述f(x-y)=f(x)+f(-y)
=f(x)+f(y)+f(-y)+f(-y)
因为f（-y）=-f(y)
所以f(x-y)=f(x)-f(y)
所以成立
不同意楼上回答
这个命题要看f(x) 有没有奇偶性。
如果是奇函数 则 f(x)=-f(-x);
则命题成立 f(x-y)=f(x+(-y)）=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y);
如果是偶函数 则 f(x)=f(-x)
则命题不成立f(x-y)=f(x+(-y)）=f(x)+f(-y)=f(x)+f(y);
如果没有奇偶性的 更不会成立
令x=y=0,得f(0)=0
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
即f(x)是奇函数.
故f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)成立.
若f(x+y)=f(x)+f(y)
那么f(x-y)=f(x)-f(y)成立吗？
只要你的x、y、x-y都满足函数定义域，那就是对的！
因为f(x-y)=f(x)-f(y)移项不就得到了
f(x-y)+f(y)=f(x)，这和条件给的式子
f(x)+f(y)=f(x+y)，从而发现不就是变量字母改了一下下吗？