作业帮已知f（x）是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g（x）过点（-1,1）且g（x）=f(x-1),则f(2007)+f(2008)等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:42:12
已知f（x）是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g（x）过点（-1,1）且g（x）=f(x-1),则f(2007)+f(2008)等于多少?
已知f（x）是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g（x）过点（-1,1）且g（x）=f(x-1),则f(2007)+f(2008)等于多少?
已知f（x）是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g（x）过点（-1,1）且g（x）=f(x-1),则f(2007)+f(2008)等于多少?
因为g（x）=f（x-1）
所以g（-x）=f（-x-1）
因为g(x)是奇函数
所以g（x）= - g（-x）
即f（x-1）= - f（-x-1）
设y=x-1,则x=y+1带入上式得：
f（y）= - f（-y-2）
所以f（x）= - f（-x-2）
因为f（x）是偶函数
则有f（x）=f（-x）
所以f（x）= - f（-x-2）= -f（x+2）
f（x+2）= -f(x+2+2)= -f（x+4）
所以f（x）= f（x+4）
所以f（x）是周期为4的周期函数
所以f（2007）+f（2008）=f（-1）+f（0）=g（0）+g（1）
因为g（x）是奇函数
所以g（0）=0,g（1）= - g（-1 ）= -1
所以f（2007）+f（2008）=0+（-1）= -1
有题可知 f(2008)=f(-2008)=g(-2007)=-g(2007)=-f(2006)
以此类推 可知 f(x)=-f(x-2) 即 f(x-2)=-f(x) 即f(x-2-2)=-f(x-2)=f(X)
即 f(x)是周期为4的 周期函数
所以 所求式可变为 f(-1)+f(o)=g(0)+g(1) 以为g是奇函数 所以 g(0）=0 g(1) =-g(-1)
所以 所求式 值为 -1